A distribuição Normal Inversa é frequentemente utilizada em Ciências Atuariais para modelar o tempo até a ocorrência de um evento ou valores de sinistros. Sejam
uma amostra aleatória com f.d.p. dada por:
Sabendo que os momentos populacionais são dados por:
Obtenha os estimadores de
e
pelo Método dos Momentos.
Passo 1
O enunciado pede os estimadores de
e
pelo Método dos Momentos, dado:
- Amostra aleatória
com densidade
- Momentos populacionais conhecidos:
O que se pede:
- Encontrar os estimadores de
e usando o Método dos Momentos (MM), isto é, igualar momentos amostrais aos momentos populacionais e resolver para os parâmetros.
Passo 2
Lembrete prático do Método dos Momentos (explicado como para um colega calmo): a ideia é simples — substituir os momentos desconhecidos da população por momentos calculados da amostra e resolver o sistema de equações resultante para obter estimadores dos parâmetros.
Definições que vou usar (tudo explícito):
- Média amostral (primeiro momento amostral):
Aqui
é a estimativa natural para
.
- Variância amostral no sentido do primeiro momento central (usar a forma com denominador
, compatível com momentos populacionais):
Explicação rápida: para o Método dos Momentos é comum usar momentos amostrais que estimem momentos populacionais; por isso usamos
com denominador
, que é a média dos quadrados das diferenças — equivalente ao segundo momento central amostral.
Passo 3
Primeiro momento: igualar a média amostral ao momento populacional
.
Escrevo a equação do método dos momentos:
Resolvendo para
obtenho o estimador pelo MM:
Comentário curto: faz total sentido — a média amostral é a estimativa natural para o parâmetro
quando
.
Passo 4
Segundo momento (variância): igualar a variância amostral
ao momento populacional
.
Escrevo a equação:
Agora isolo
nessa equação:
Para obter o estimador, substituo a estimativa de
obtida no Passo 3 (
) nessa expressão. Isso dá:
ou, escrevendo
explicitamente,
Passo 5
Pequenas observações didáticas e motivacionais:
- Usei
com denominador (média dos quadrados das diferenças) porque o Método dos Momentos equaciona momentos populacionais (que são expectativas) com os momentos amostrais correspondentes; usar denominador daria um estimador diferente (mas comum em estimativa de variância não no contexto estrito dos momentos). - Ambos os estimadores respeitam propriedades naturais:
é intuitivo; é positivo sempre que a amostra não for degenerada, como deve ser para a distribuição dada. - Força aí: na prova, escreva claramente os dois momentos que está igualando, defina
e e faça a substituição — é uma resolução curta e elegante.