A distribuição Normal Inversa é frequentemente utilizada em Ciências Atuariais para modelar o tempo até a ocorrência de um evento ou valores de sinistros. Sejam X_{1}, \ldots, X_{n} uma amostra aleatória com f.d.p. dada por:
f(x ; \mu, \lambda)=\sqrt{\frac{\lambda}{2 \pi x^{3}}} \exp \left(-\frac{\lambda(x-\mu)^{2}}{2 \mu^{2} x}\right), \quad x>0
Sabendo que os momentos populacionais são dados por:
E(X)=\mu \quad \text { e } \quad \operatorname{Var}(X)=\frac{\mu^{3}}{\lambda}
Obtenha os estimadores de \mu e \lambda pelo Método dos Momentos.

Passo 1

O enunciado pede os estimadores de \mu e \lambda pelo Método dos Momentos, dado:
  • Amostra aleatória X_{1},\dots,X_{n} com densidade
f(x;\mu,\lambda)=\sqrt{\frac{\lambda}{2\pi x^{3}}}\exp\!\left(-\frac{\lambda(x-\mu)^{2}}{2\mu^{2}x}\right),\quad x>0.
  • Momentos populacionais conhecidos:
E(X)=\mu,\qquad \operatorname{Var}(X)=\frac{\mu^{3}}{\lambda}.
O que se pede:
  • Encontrar os estimadores de \mu e \lambda usando o Método dos Momentos (MM), isto é, igualar momentos amostrais aos momentos populacionais e resolver para os parâmetros.

Passo 2

Lembrete prático do Método dos Momentos (explicado como para um colega calmo): a ideia é simples — substituir os momentos desconhecidos da população por momentos calculados da amostra e resolver o sistema de equações resultante para obter estimadores dos parâmetros.
Definições que vou usar (tudo explícito):
  • Média amostral (primeiro momento amostral):
\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i.
Aqui \bar{X} é a estimativa natural para E(X).
  • Variância amostral no sentido do primeiro momento central (usar a forma com denominador n, compatível com momentos populacionais):
S_n^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^{2}.
Explicação rápida: para o Método dos Momentos é comum usar momentos amostrais que estimem momentos populacionais; por isso usamos S_n^{2} com denominador n, que é a média dos quadrados das diferenças — equivalente ao segundo momento central amostral.

Passo 3

Primeiro momento: igualar a média amostral ao momento populacional E(X)=\mu.
Escrevo a equação do método dos momentos:
\bar{X}=\mu.
Resolvendo para \mu obtenho o estimador pelo MM:
\hat{\mu}_{MM}=\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i.
Comentário curto: faz total sentido — a média amostral é a estimativa natural para o parâmetro \mu quando E(X)=\mu.

Passo 4

Segundo momento (variância): igualar a variância amostral S_n^{2} ao momento populacional \operatorname{Var}(X)=\dfrac{\mu^{3}}{\lambda}.
Escrevo a equação:
S_n^{2}=\frac{\mu^{3}}{\lambda}.
Agora isolo \lambda nessa equação:
\lambda=\frac{\mu^{3}}{S_n^{2}}.
Para obter o estimador, substituo a estimativa de \mu obtida no Passo 3 ( \hat{\mu}_{MM}=\bar{X}) nessa expressão. Isso dá:
\hat{\lambda}_{MM}=\frac{\bar{X}^{3}}{S_n^{2}},
ou, escrevendo S_n^{2} explicitamente,
\hat{\lambda}_{MM}=\frac{\bar{X}^{3}}{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^{2}}.

Passo 5

Pequenas observações didáticas e motivacionais:
  • Usei S_n^{2} com denominador n (média dos quadrados das diferenças) porque o Método dos Momentos equaciona momentos populacionais (que são expectativas) com os momentos amostrais correspondentes; usar denominador n-1 daria um estimador diferente (mas comum em estimativa de variância não no contexto estrito dos momentos).
  • Ambos os estimadores respeitam propriedades naturais: \hat{\mu}_{MM}=\bar{X} é intuitivo; \hat{\lambda}_{MM} é positivo sempre que a amostra não for degenerada, como deve ser para a distribuição dada.
  • Força aí: na prova, escreva claramente os dois momentos que está igualando, defina \bar{X} e S_n^{2} e faça a substituição — é uma resolução curta e elegante.

Resposta

\hat{\mu}_{MM}=\bar{X}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i
\hat{\lambda}_{MM}=\dfrac{\bar{X}^{3}}{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^{2}}

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