Considere a distribuição de probabilidade da v.a. X apresentada no quadro abaixo e obtenha as quantidades pedidas.
x 7 8 9 10 12
f_{X}(x) 20 / 100 40 / 100 10 / 100 a 25 / 100
(a) P(X=10)
(b) P(X=11)
(c) P(X<8)
(d) P(X \leq 10)
(e) P(8<X \leq 10)
(f) \mathrm{E}(2 X+1), usando as propriedades de esperança.
(g) \operatorname{Var}(2 X+1), usando as propriedades de variância.

Passo 1

O enunciado apresenta a v.a. discreta X com suporte \{7,8,9,10,12\} e probabilidades
P(X=7)=\tfrac{20}{100},\;P(X=8)=\tfrac{40}{100},\;P(X=9)=\tfrac{10}{100},\;P(X=10)=a,\;P(X=12)=\tfrac{25}{100}.
Precisamos calcular as probabilidades pedidas nos itens (a) a (e) e, em seguida, usar propriedades de esperança e variância para os itens (f) e (g).

Passo 2

Para achar P(X=10) usamos a soma das probabilidades igual a 1:
\tfrac{20}{100} + \tfrac{40}{100} + \tfrac{10}{100} + a + \tfrac{25}{100} = 1
0,20 + 0,40 + 0,10 + a + 0,25 = 1
0,95 + a = 1
a = 0,05.
Logo, P(X=10)=0,05.

Passo 3

Como 11 não está no suporte de X, temos
P(X=11)=0.

Passo 4

Para P(X<8) só vale o caso X=7, então
P(X<8)=P(X=7)=0,20.

Passo 5

Para P(X\le10) somamos as probabilidades de 7,8,9,10:
P(X\le10)=0,20+0,40+0,10+0,05=0,75.

Passo 6

Para P(8<X\le10) somamos X=9 e X=10:
P(8<X\le10)=0,10+0,05=0,15.

Passo 7

Para \mathrm{E}(2X+1) usamos \mathrm{E}(2X+1)=2\,\mathrm{E}(X)+1. Primeiro calculamos
\mathrm{E}(X)=7\cdot0,20 + 8\cdot0,40 + 9\cdot0,10 + 10\cdot0,05 + 12\cdot0,25 = 9,0.
Logo
\mathrm{E}(2X+1)=2\cdot9,0 + 1 = 19.

Passo 8

Para \operatorname{Var}(2X+1) usamos \operatorname{Var}(2X+1)=4\,\operatorname{Var}(X). Calculamos
\mathrm{E}(X^2)=7^2\! \cdot0,20 + 8^2\! \cdot0,40 + 9^2\! \cdot0,10 + 10^2\! \cdot0,05 + 12^2\! \cdot0,25 =84,5
e
\operatorname{Var}(X)=\mathrm{E}(X^2)-[\mathrm{E}(X)]^2 =84,5-9,0^2 =3,5.
Portanto
\operatorname{Var}(2X+1)=4\cdot3,5 =14.

Resposta

(a) P(X=10)=0,05
(b) P(X=11)=0
(c) P(X<8)=0,20
(d) P(X\le10)=0,75
(e) P(8<X\le10)=0,15
(f) \mathrm{E}(2X+1)=19
(g) \operatorname{Var}(2X+1)=14

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