Um engenheiro de confiabilidade analisa o sistema de atuação do trem de pouso de uma aeronave. Historicamente, quando ocorre uma falha na retração do trem de pouso, a causa raiz pode ser atribuída a um de três subsistemas: Hidráulico (H), Elétrico (E) ou Mecânico ( M ). As probabilidades a priori de uma falha ser originada em cada subsistema são:
  • P(H)=0,55 (falhas hidráulicas são as mais comuns)
  • P(E)=0,30 (falhas elétricas, como sensores e atuadores)
  • P(M)=0,15 (falhas mecânicas, como travas e engates)
A aeronave possui um sistema de diagnóstico que gera códigos de erro. Um código específico, “ERRO 404”, pode ser gerado por problemas em qualquer um dos três subsistemas, mas com probabilidades diferentes:
  • A probabilidade de o “ERRO 404” aparecer, dado que a falha é Hidráulica, é de 20 \%.
  • A probabilidade de o “ERRO 404” aparecer, dado que a falha é Elétrica, é de 70 \%.
  • A probabilidade de o “ERRO 404” aparecer, dado que a falha é Mecânica, é de 10 \%.
Durante um voo de teste, o sistema acusa “ERRO 404”. Com base na ocorrência do “ERRO 404”, qual a probabilidade de que a causa raiz da falha no trem de pouso seja elétrica?

Passo 1

O enunciado descreve um problema de confiabilidade em que uma falha no trem de pouso pode vir de três subsistemas — hidráulico H, elétrico E ou mecânico M — com probabilidades a priori conhecidas, e um diagnóstico gera o “ERRO 404”. A questão pede a probabilidade de que a causa raiz seja elétrica, isto é, P(E \mid \text{Erro 404}). Para resolver, vamos usar o Teorema de Bayes e o Teorema da Probabilidade Total.

Passo 2

Listamos as probabilidades fornecidas: P(H)=0,55, P(E)=0,30, P(M)=0,15.
As probabilidades condicionais de gerar “ERRO 404” são:
P(\text{Erro 404}\mid H)=0,20,\quad P(\text{Erro 404}\mid E)=0,70,\quad P(\text{Erro 404}\mid M)=0,10.

Passo 3

Pelo Teorema de Bayes,
P(E \mid \text{Erro 404}) = \frac{P(\text{Erro 404}\mid E)\,P(E)}{P(\text{Erro 404})},
onde, pelo Teorema da Probabilidade Total,
P(\text{Erro 404}) = P(\text{Erro 404}\mid H)\,P(H) +P(\text{Erro 404}\mid E)\,P(E) +P(\text{Erro 404}\mid M)\,P(M).

Passo 4

Calculamos primeiro cada termo:
P(\text{Erro 404}\mid H)\,P(H)=0,20\times0,55=0,11,
P(\text{Erro 404}\mid E)\,P(E)=0,70\times0,30=0,21,
P(\text{Erro 404}\mid M)\,P(M)=0,10\times0,15=0,015.
Logo,
P(\text{Erro 404})=0,11+0,21+0,015=0,335.

Passo 5

Agora aplicamos Bayes:
P(E \mid \text{Erro 404}) = \frac{0,21}{0,335}\approx0,627.
Em porcentagem, isso equivale a aproximadamente 62,7\%.

Resposta

A probabilidade de a causa raiz ser elétrica, dado o “ERRO 404”, é de cerca de 62,7\%.

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