Considere dois autoestados de energia ortonormais
e
, onde
e
,
é o operador Hamiltoniano e
e
definem duas diferentes combinações lineares dos estados
e
:
Compute
e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois estados de energia, chamados $ |1\rangle $ e $ |2\rangle $, que são ortonormais. Isso significa que eles são perpendiculares e têm norma 1. O operador Hamiltoniano $ H $ atua nesses estados assim:
Onde $ E_1 $ e $ E_2 $ são as energias associadas a cada estado, e sabemos que $ E_1 \neq E_2 $.
A gente também tem duas combinações lineares desses estados, $ |A\rangle $ e $ |B\rangle $:
A tarefa é calcular os produtos internos $ \langle A | A \rangle $, $ \langle B | B \rangle $, $ \langle A | B \rangle $ e $ \langle B | A \rangle $. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear e propriedades dos produtos internos em espaços vetoriais com números complexos.
Passo 2
Vamos começar calculando $ \langle A | A \rangle $. O produto interno de um vetor com ele mesmo nos dá a norma ao quadrado desse vetor. Como $ |A\rangle $ é uma combinação linear de $ |1\rangle $ e $ |2\rangle $, temos:
Multiplicando os numeradores:
Sabemos que $ \langle 1 | 2 \rangle = 0 $ e $ \langle 1 | 1 \rangle = \langle 2 | 2 \rangle = 1 $ porque são ortonormais. Além disso, $ i \times (-i) = 1 $. Assim:
Passo 3
Agora vamos calcular $ \langle B | B \rangle $. Segue um raciocínio similar ao anterior:
Multiplicando os numeradores:
Como antes, $ \langle 1 | 2 \rangle = \langle 2 | 1 \rangle = 0 $ e $ i \times (-i) = 1 $. Então:
Passo 4
Vamos agora calcular $ \langle A | B \rangle $:
Multiplicando os numeradores:
Lembrando que $ \langle 1 | 2 \rangle = \langle 2 | 1 \rangle = 0 $ e $ i \times (-i) = 1 $:
Passo 5
Finalmente, vamos calcular $ \langle B | A \rangle $. Por propriedades dos produtos internos, sabemos que $ \langle B | A \rangle = (\langle A | B \rangle)^* $, onde o asterisco indica o complexo conjugado. Como $ \langle A | B \rangle = 1 $, que é um número real, temos: