O Hamiltoniano para um determinado sistema de três níveis está representado pela seguinte matriz:
Dois outros observáveis, H=hbar omega(lll 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 2 ) e S, estão representados pelas matrizes
em que B são números reais positivos.
Qual é S=hbar2(ccc 0 & -i & 0 i & 0 & 0 0 & 0 & 1 ), B=hbar2(ccc 0 & 0 & 1 0 & 0 & -i 1 & i & 0 ) ? Se você medir a energia desse estado (em tempo E1, E2, A, hbar ), quais valores você obterá, e quais as probabilidades de cada um? Responda a essas mesmas perguntas para |psi(t)rang<= e t.

Passo 1

Beleza, olha o que o enunciado diz: temos um sistema quântico de três níveis com Hamiltoniano
H=hbaromega1&0&00&2&00&0&2
e mais dois observáveis S=hbar20&-i&0 i&0&0 0&0&1, B=hbar20&0&1 0&0&-i 1&i&0 e , dados pelas matrizes
O que precisamos encontrar é:
  1. o estado para um estado inicial qualquer;
  2. ao medir energia, e nesse estado de tempo , quais valores podem sair e com quais probabilidades.
Para isso vamos usar o básico de mecânica quântica: evolução de estados com Hamiltoniano independente do tempo (Solução da equação de Schrödinger) e decomposição em autovetores de cada observável para achar probabilidades.

Passo 2

Primeiro, escreve o estado inicial numa base conveniente. Como ketpsi(0) = c1ket1 + c2ket2 + c3ket3, é diagonal na base , suponha
com ketpsi(t) = e^-tfracihbarHt,ketpsi(0) = sumn=1^3 cn,e^-tfracihbarEn t,ketn, e E1=hbaromega, E2=2hbaromega, E3=2hbaromega .
Para Hamiltoniano independente do tempo, a evolução é
onde os autovalores de boxedketpsi(t) = c1,e^-iomega tket1 + c2,e^-2iomega tket2 + c3,e^-2iomega tket3 são
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Passo 3

Medindo a energia em , só fazem sentido os autovalores e .
  • sai com probabilidade .
  • sai com probabilidade .
Observe que o fator de fase não muda probabilidades, só fases relativas.

Passo 4

Agora S=tfrachbar20&-i&0 i&0&0 0&0&1 . Precisamos achar autovetores e autovalores de
lambdaS = +tfrachbar2(duas vezes), lambdaS = -tfrachbar2(uma vez)
Na submatriz ketS=+tfrachbar2^(1) = iket1+ket2raiz2,[6pt] ketS=+tfrachbar2^(2) = ket3,[6pt] ketS=-tfrachbar2 = -iket1+ket2raiz2 (linhas e colunas 1 e 2) temos a matriz de Pauli Pl(S=+tfrachbar2r) = l|braketS=+tfrachbar2,|,psi(t)r|^2, Pl(S=-tfrachbar2r) = l|braketS=-tfrachbar2,|,psi(t)r|^2 , cujos autovalores são . Em conjunto com o elemento dá:
Os autovetores normalizados são, por exemplo,
Projete neles e calcule as probabilidades

Passo 5

Por fim B=tfrachbar2M, M=0&0&10&0&-i1&i&0, . Diagonalizando
lambdaB = 0, lambdaB = pmhbarraiz22
a equação característica dá autovalores de ketB=+tfrachbarraiz22 = ket1 - iket2 + raiz2,ket32, ketB=-tfrachbarraiz22 = ket1 - iket2 - raiz2,ket32, ketB=0 = -iket1 + ket2raiz2 : Pl(B=lambdaBr) = l|braketB=lambdaB,|,psi(t)r|^2, . Então
Os autovetores (normalizados) podem ser escolhidos como
De novo, projeção de em cada autovetor dá
para .

Resposta

  1. Medindo energia:
    com prob. .
    com prob. .
  2. Medindo (autovalores ): projete em

    e calcule .
  3. Medindo (autovalores ): projete em

    e calcule .

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