O Hamiltoniano para um determinado sistema de três níveis está representado pela seguinte matriz:
Dois outros observáveis, e , estão representados pelas matrizes
em que são números reais positivos.
Qual é ? Se você medir a energia desse estado (em tempo ), quais valores você obterá, e quais as probabilidades de cada um? Responda a essas mesmas perguntas para e .
Passo 1
Beleza, olha o que o enunciado diz: temos um sistema quântico de três níveis com Hamiltoniano
e mais dois observáveis S=hbar20&-i&0 i&0&0 0&0&1, B=hbar20&0&1 0&0&-i 1&i&0 e , dados pelas matrizes
O que precisamos encontrar é:
o estado para um estado inicial qualquer;
ao medir energia, e nesse estado de tempo , quais valores podem sair e com quais probabilidades.
Para isso vamos usar o básico de mecânica quântica: evolução de estados com Hamiltoniano independente do tempo (Solução da equação de Schrödinger) e decomposição em autovetores de cada observável para achar probabilidades.
Passo 2
Primeiro, escreve o estado inicial numa base conveniente. Como ketpsi(0) = c1ket1 + c2ket2 + c3ket3, é diagonal na base , suponha
com ketpsi(t) = e^-tfracihbarHt,ketpsi(0) = sumn=1^3 cn,e^-tfracihbarEn t,ketn, e E1=hbaromega, E2=2hbaromega, E3=2hbaromega .
Para Hamiltoniano independente do tempo, a evolução é
onde os autovalores de boxedketpsi(t) = c1,e^-iomega tket1 + c2,e^-2iomega tket2 + c3,e^-2iomega tket3 são
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Passo 3
Medindo a energia em , só fazem sentido os autovalores e .
sai com probabilidade .
sai com probabilidade .
Observe que o fator de fase não muda probabilidades, só fases relativas.
Passo 4
Agora S=tfrachbar20&-i&0 i&0&0 0&0&1 . Precisamos achar autovetores e autovalores de
Na submatriz ketS=+tfrachbar2^(1) = iket1+ket2raiz2,[6pt] ketS=+tfrachbar2^(2) = ket3,[6pt] ketS=-tfrachbar2 = -iket1+ket2raiz2 (linhas e colunas 1 e 2) temos a matriz de Pauli Pl(S=+tfrachbar2r) = l|braketS=+tfrachbar2,|,psi(t)r|^2, Pl(S=-tfrachbar2r) = l|braketS=-tfrachbar2,|,psi(t)r|^2 , cujos autovalores são . Em conjunto com o elemento dá:
Os autovetores normalizados são, por exemplo,
Projete neles e calcule as probabilidades
Passo 5
Por fim B=tfrachbar2M, M=0&0&10&0&-i1&i&0, . Diagonalizando
lambdaB = 0, lambdaB = pmhbarraiz22
a equação característica dá autovalores de ketB=+tfrachbarraiz22 = ket1 - iket2 + raiz2,ket32, ketB=-tfrachbarraiz22 = ket1 - iket2 - raiz2,ket32, ketB=0 = -iket1 + ket2raiz2 : Pl(B=lambdaBr) = l|braketB=lambdaB,|,psi(t)r|^2, . Então
Os autovetores (normalizados) podem ser escolhidos como