Considere dois cilindros de mesma massa ( M ) e mesmo raio ( R ). O Cilindro A é maciço e feito de alumínio, enquanto o Cilindro B é oco (semelhante a um anel) e feito de aço. Se ambos forem soltos simultaneamente do topo de uma rampa e rolarem sem deslizar, qual deles chegará primeiro à base? Justifique sua resposta utilizando o conceito de momento de inércia e a distribuição de massa em cada caso.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que se pede.
Dois cilindros com mesma massa M e mesmo raio R.
Cilindro A: maciço (sólido), material alumínio.
Cilindro B: oco (como um anel), material aço.
Ambos são soltos simultaneamente do topo de uma rampa e rolam sem deslizar.
Pergunta: qual deles chega primeiro à base? Justificar usando momento de inércia e distribuição de massa.
Passo 2
Entender a condição “rolam sem deslizar” e as variáveis envolvidas.
Rolamento sem deslizamento significa que a velocidade linear do centro de massa v e a velocidade angular \omega satisfazem a relação
v = \omega R.
Ao descer uma rampa de altura h (ou por uma inclinação qualquer), a energia gravitacional perdida M g h se transforma em energia cinética translacional e rotacional:
M g h = \text{energia translacional} + \text{energia rotacional}.
Vou usar g para a aceleração da gravidade e I para o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação.
Passo 3
Escrever a conservação de energia para um corpo que rola sem deslizar do topo até a base (sem perdas por atrito dissipativo).
Energia inicial: M g h.
Energia final: soma da translacional e rotacional,
\frac{1}{2} M v^{2} + \frac{1}{2} I \omega^{2}.
Igualando:
M g h = \frac{1}{2} M v^{2} + \frac{1}{2} I \omega^{2}.
Passo 4
Usar a condição v = \omega R para eliminar \omega e obter expressão para v.
Substituindo \omega = \dfrac{v}{R} na equação de energia:
M g h = \frac{1}{2} M v^{2} + \frac{1}{2} I \left(\frac{v}{R}\right)^{2}.
Colocando em evidência v^{2}:
M g h = \left(\frac{1}{2}M + \frac{1}{2}\frac{I}{R^{2}}\right) v^{2}.
Logo
v^{2} = \frac{2 M g h}{M + \dfrac{I}{R^{2}}}
ou, isolando de forma mais compacta,
v = \sqrt{\frac{2 g h}{1 + \dfrac{I}{M R^{2}}}}.
Observação importante: para uma rampa de mesma altura h, quem tiver maior v na base chegou primeiro (maior velocidade final implica maior aceleração média ao longo da rampa).
Passo 5
Apresentar os momentos de inércia e explicar fisicamente o que eles significam.
Definição rápida: o momento de inércia I mede a resistência de um corpo a mudar seu estado de rotação; depende de como a massa está distribuída em relação ao eixo.
Para cilindros homogeneamente distribuídos e eixo central temos fórmulas padrão:
Cilindro maciço (sólido) de massa M e raio R:
I_{\text{maciço}} = \frac{1}{2} M R^{2}.ç
Cilindro fino e oco (anel) de massa M e raio R:
I_{\text{o oco}} = M R^{2}.
Intuição: no anel, quase toda a massa está longe do eixo, aumentando I. No maciço, parte da massa está mais perto do eixo, reduzindo I. Maior I significa que, para uma mesma velocidade linear v, mais energia vai para rotação (e menos fica para translação).
Passo 6
Calcular as velocidades finais para os dois cilindros usando a fórmula encontrada.
Para o cilindro A (maciço), usar I_A = \dfrac{1}{2} M R^{2}. Então
v_{A} = \sqrt{\frac{2 g h}{1 + \dfrac{I_A}{M R^{2}}}} = \sqrt{\frac{2 g h}{1 + \dfrac{1}{2}}} = \sqrt{\frac{2 g h}{3/2}} = \sqrt{\frac{4}{3}\, g h}.
Para o cilindro B (oco), usar I_B = M R^{2}. Então
v_{B} = \sqrt{\frac{2 g h}{1 + \dfrac{I_B}{M R^{2}}}} = \sqrt{\frac{2 g h}{1 + 1}} = \sqrt{\frac{2 g h}{2}} = \sqrt{g h}.
Comparando:
v_{A} = \sqrt{\frac{4}{3}\, g h} \quad\text{e}\quad v_{B} = \sqrt{g h},
e como \dfrac{4}{3} > 1 temos v_{A} > v_{B}. Portanto o cilindro maciço atinge maior velocidade na base e chega primeiro.
Passo 7
(Verificação alternativa usando força e torque — útil para prova)
Aplicando segunda lei de Newton para translação e rotação numa inclinação com componente tangencial M g \sin\theta:
M g \sin\theta - F_{\text{atrito}} = M a,
F_{\text{atrito}} R = I \alpha,
com \alpha = \dfrac{a}{R} por rolamento sem deslizar.
Eliminando F_{\text{atrito}} obtém-se a aceleração do centro de massa:
a = \frac{g \sin\theta}{1 + \dfrac{I}{M R^{2}}}.
Pela mesma razão dos I diferentes, para o maciço I/(M R^{2}) = 1/2 e para o anel =1. Assim a_{A} = \dfrac{g\sin\theta}{1+1/2} = \dfrac{2}{3}g\sin\theta e a_{B} = \dfrac{g\sin\theta}{2} = \dfrac{1}{2}g\sin\theta. Novamente a_{A}>a_{B}, confirmando que o maciço chega primeiro.
Passo 8
Conclusão física e observações finais (motivação para a prova).
Resumindo: o cilindro maciço chega antes porque tem menor momento de inércia relativo (I/(M R^{2}) menor). Com mesma massa e mesmo raio, a distribuição de massa é o que determina I. Massa concentrada perto do eixo (maciço) facilita a conversão da energia potencial em velocidade translacional; massa concentrada longe do eixo (anel) “prende” mais energia em rotação, deixando menos para a translação, e assim ele desce mais devagar.
Nota sobre os materiais: o fato de um ser alumínio e outro aço não importa aqui, porque foi dado que as massas são iguais; o que importa é a distribuição da massa (maciço vs oco). Portanto, a diferença de material por si só não altera a conclusão.