Um garoto de 40 kg salta de uma altura de 3,0 \mathrm{~m}, pousa em um pé e descansa em 0,10 \mathrm{~s} depois de cair no chão. Suponha que ele descanse com uma desaceleração constante. Se a área total da seção transversal dos ossos nas pernas, logo acima dos tornozelos, for de 3,0 \mathrm{cm}^{2}, qual é a tensão de compressão nesses ossos? Os ossos das pernas podem ser fraturados quando submetidos a um estresse maior que 1,7 \times 10^{8} \mathrm{~Pa}. O garoto corre o risco de quebrar a perna?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (lista exata do que podemos usar diretamente):
  • massa do garoto: m=40\\ \mathrm{kg}.
  • altura da qual salta: h=3{,}0\\ \mathrm{m}.
  • tempo de parada (desaceleração constante): t=0{,}10\\ \mathrm{s}.
  • área total das secções transversais dos ossos: A=3{,}0\\ \mathrm{cm}^{2}.
  • aceleração da gravidade que usaremos: g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • tensão de fratura dos ossos: \sigma_{\text{fratura}}=1{,}7\times10^{8}\\ \mathrm{Pa}.
O que a questão pede:
  1. Calcular a tensão de compressão (stress) nos ossos durante a parada.
  2. Dizer se o garoto corre risco de fraturar a perna, comparando a tensão obtida com \sigma_{\text{fratura}}.

Passo 2

Encontrar a velocidade com que ele atinge o solo (antes de começar a desacelerar). Como ele cai de repouso e sem atrito do ar significativo na questão, usamos conservação de energia (ou a fórmula da queda livre):
  • energia potencial gravítica \to energia cinética: \tfrac{1}{2}mv^{2}=mgh.
    Isolando v obtemos a fórmula padrão da queda livre:
v=\sqrt{2gh}.
Agora substituímos os números:
v=\sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 3{,}0}=\sqrt{58{,}8}\approx 7{,}67\\ \mathrm{m/s}.
Explicação curta: essa é a velocidade imediatamente antes de o pé tocar o chão, supondo que toda a perda de altura vira velocidade.

Passo 3

Calcular a desaceleração (módulo) assumindo desaceleração constante em tempo t. A relação cinemática entre velocidade inicial v (na chegada ao solo), aceleração constante a e tempo de parada t é
v=a\,t,
se adotarmos o sinal tal que a seja o valor positivo da magnitude da desaceleração. Assim
a=\frac{v}{t}=\frac{7{,}67}{0{,}10}=76{,}7\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Comentário didático: isso significa que, durante o processo de parar, o corpo experimenta uma aceleração para cima (no sentido oposto à velocidade) com magnitude 76{,}7\\ \mathrm{m/s^{2}}, muito maior que g.

Passo 4

Determinar a força média que o solo transmite ao garoto (força normal média) durante a desaceleração. Pela Segunda Lei de Newton, a força resultante sobre o garoto é F_{\text{res}}=m a. As forças verticais são a força normal do chão F_N para cima e o peso mg para baixo. Tomando para cima como positivo:
F_N - mg = m a \quad\Rightarrow\quad F_N = m(a+g).
Substituindo valores:
F_N = 40\bigl(76{,}7 + 9{,}8\bigr)=40\cdot 86{,}5\approx 3{,}46\times10^{3}\\ \mathrm{N}.
(Arredondei conservadoramente; cálculo direto: 40\cdot 86{,}5\approx 3460\\ \mathrm{N}.)
Explicação: o chão tem de exercer não só uma força para produzir a desaceleração m a, mas também sustentar o peso mg. Por isso aparece a+g.

Passo 5

Calcular a tensão de compressão média nos ossos: tensão (stress) é força por área,
\sigma=\frac{F_N}{A}.
Primeiro convertemos a área dada em \mathrm{m^{2}}. Como 1\\ \mathrm{cm^{2}}=10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}},
A=3{,}0\\ \mathrm{cm^{2}}=3{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}.
Agora a tensão:
\sigma=\frac{3{,}46\times10^{3}}{3{,}0\times10^{-4}} \approx 1{,}15\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}.
Detalhe de conta: dividir por 3{,}0\times10^{-4} é o mesmo que multiplicar por 3{,}33\times10^{3}, dando o valor acima.

Passo 6

Comparação com a tensão de fratura:
\sigma_{\text{obtida}}\approx 1{,}15\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}, \qquad \sigma_{\text{fratura}}=1{,}7\times10^{8}\\ \mathrm{Pa}.
Como 1{,}15\times10^{7}<1{,}7\times10^{8}, a tensão média está bem abaixo do limite de fratura indicado. Conclusão: com as hipóteses da questão (desaceleração constante em 0{,}10\\ \mathrm{s}, área total 3{,}0\\ \mathrm{cm^{2}}, etc.), o garoto não alcança a tensão necessária para fraturar os ossos.
Observação final (importante para a prova): na vida real fatores como impacto localizado, má distribuição da força entre ossos, ângulos, superfícies de contato menores, e picos de força (não apenas a força média) podem elevar a probabilidade de fratura. Nesta questão usamos força média e área total fornecida — procedimento típico de exercício de Física básica.

Resposta

\sigma\approx 1{,}15\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}\n
Não — a tensão é menor que 1{,}7\times10^{8}\\ \mathrm{Pa}, portanto não há risco de fratura segundo os dados fornecidos.

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