(1,5 Ponto) A frequência de passos escala com a massa
de um animal da forma
. Calcule a frequência de passos para os animais quadrupedes na tabela abaixo. Tome com referência um cachorro de massa
executar
passo/s.
Mamífero
m=Massa Média (kg)
Frequência de Passos (pps)
Zebra-das-planícies
300
Tigre
225
Ovelha
70
Cachorro
20
1,9
| Mamífero | m=Massa Média (kg) |
|
| Zebra-das-planícies | 300 | |
| Tigre | 225 | |
| Ovelha | 70 | |
| Cachorro | 20 | 1,9 |
Passo 1
O enunciado pede para calcular a frequência de passos de três mamíferos usando a lei de escala dada e um cachorro como referência. Informações e pedidos do problema:
- Lei de escala:
(a frequência de passos escala com a massa como ). - Referência (dado): para o cachorro tem-se
e . - Tabela com massas a usar:
- Zebra-das-planícies:
. - Tigre:
. - Ovelha:
. - Cachorro:
(já dado ).
- Zebra-das-planícies:
O objetivo: calcular
para cada mamífero da tabela (frequência de passos em passos por segundo, pps).
Passo 2
Entendendo a lei e as variáveis (explicação didática).
- A lei
significa que existe uma constante de proporcionalidade tal que
- Aqui:
-
é a massa do animal em quilogramas ( ). -
é a frequência de passos em passos por segundo ( ). -
é uma constante que não depende de ; ela é fixada pelos dados de referência (o cachorro).
-
- Para evitar calcular explicitamente
, é mais prático relacionar diretamente qualquer com a referência . Dividindo as duas expressões:
- Isolando
obtemos a fórmula útil para calcular rapidamente usando a razão de massas:
Essa fórmula é prática: basta usar a razão
e elevar à potência
.
Passo 3
Como calcular
na prática (mini-aula).
- A potência
significa primeiro tirar a sexta raiz e depois inverter, ou inverter e depois tirar a sexta raiz:
- Uma maneira muito usada para calcular potências não-inteiras é usar logs: se
, então
Isto é prático porque calculadoras ou tabelas de log facilitam
. Para uma prova sem calculadora, pode-se aproximar a sexta raiz por tentativa (por exemplo verificar potências conhecidas como
,
) ou usar aproximações decimais rápidas; aqui vou mostrar o cálculo com log/exp para obter valores numéricos bem aproximados (o raciocínio é o mesmo que se faria na prova, justificando a fórmula usada).
Passo 4
Cálculo para a Zebra-das-planícies (
).
- Primeiro a razão de massas:
- Aplicando a fórmula:
- Valores intermediários (usando aproximações de log):
- Portanto
- Arredondando sensatamente (duas casas decimais) dá
.
Passo 5
Cálculo para o Tigre (
).
- Razão de massas:
- Fórmula:
- Valores intermediários:
- Portanto
- Arredondando:
.
Passo 6
Cálculo para a Ovelha (
).
- Razão de massas:
- Fórmula:
- Valores intermediários:
- Portanto
- Arredondando:
.
Passo 7
Verificação rápida e nota sobre arredondamento.
- Para o cachorro (
) a fórmula dá obviamente , que é o valor de referência. - Os resultados acima foram obtidos mantendo consistência numérica e arredondados a duas casas decimais; em uma prova é suficiente dar valores com duas casas decimais e explicar que foi usada a lei de escala e a referência.
Resposta
Zebra-das-planícies:
Tigre:
Ovelha:
Cachorro:
Tigre:
Ovelha:
Cachorro: