(1,5 Ponto) A frequência de passos escala com a massa m de um animal da forma f(m) \propto m^{-1 / 6}. Calcule a frequência de passos para os animais quadrupedes na tabela abaixo. Tome com referência um cachorro de massa m=20 \mathrm{~kg} executar f=1,9 passo/s.
Mamífero m=Massa Média (kg) \boldsymbol{f}(\boldsymbol{m})= Frequência de Passos (pps)
Zebra-das-planícies 300
Tigre 225
Ovelha 70
Cachorro 20 1,9

Passo 1

O enunciado pede para calcular a frequência de passos de três mamíferos usando a lei de escala dada e um cachorro como referência. Informações e pedidos do problema:
  • Lei de escala: \,f(m)\propto m^{-1/!6} (a frequência de passos escala com a massa como m^{-1/6}).
  • Referência (dado): para o cachorro tem-se \,m_0=20\\ \text{kg} e \,f_0=1,9\\ \text{pps}.
  • Tabela com massas a usar:
    • Zebra-das-planícies: \,m=300\\ \text{kg}.
    • Tigre: \,m=225\\ \text{kg}.
    • Ovelha: \,m=70\\ \text{kg}.
    • Cachorro: \,m=20\\ \text{kg} (já dado \,f=1,9\\ \text{pps}).
O objetivo: calcular \,f(m) para cada mamífero da tabela (frequência de passos em passos por segundo, pps).

Passo 2

Entendendo a lei e as variáveis (explicação didática).
  • A lei \,f(m)\propto m^{-1/6} significa que existe uma constante de proporcionalidade k tal que
f(m)=k\,m^{-1/6}.
  • Aqui:
    • \,m é a massa do animal em quilogramas ( \text{kg}).
    • \,f(m) é a frequência de passos em passos por segundo ( \text{pps}).
    • k é uma constante que não depende de m; ela é fixada pelos dados de referência (o cachorro).
  • Para evitar calcular explicitamente k, é mais prático relacionar diretamente qualquer \,f(m) com a referência \,(m_0,f_0). Dividindo as duas expressões:
\frac{f(m)}{f_0}=\frac{k\,m^{-1/6}}{k\,m_0^{-1/6}}=\left(\frac{m}{m_0}\right)^{-1/6}.
  • Isolando f(m) obtemos a fórmula útil para calcular rapidamente usando a razão de massas:
f(m)=f_0\left(\frac{m}{m_0}\right)^{-1/6}.
Essa fórmula é prática: basta usar a razão \dfrac{m}{m_0} e elevar à potência -1/6.

Passo 3

Como calcular \left(\dfrac{m}{m_0}\right)^{-1/6} na prática (mini-aula).
  • A potência -1/6 significa primeiro tirar a sexta raiz e depois inverter, ou inverter e depois tirar a sexta raiz:
\left(\frac{m}{m_0}\right)^{-1/6}=\frac{1}{\left(\dfrac{m}{m_0}\right)^{1/6}}.
  • Uma maneira muito usada para calcular potências não-inteiras é usar logs: se r=\dfrac{m}{m_0}, então
r^{-1/6}=\exp\!\left(-\frac{1}{6}\ln r\right).
Isto é prático porque calculadoras ou tabelas de log facilitam \ln r. Para uma prova sem calculadora, pode-se aproximar a sexta raiz por tentativa (por exemplo verificar potências conhecidas como 2^6=64, 3^6=729) ou usar aproximações decimais rápidas; aqui vou mostrar o cálculo com log/exp para obter valores numéricos bem aproximados (o raciocínio é o mesmo que se faria na prova, justificando a fórmula usada).

Passo 4

Cálculo para a Zebra-das-planícies ( \,m=300\\ \text{kg}).
  • Primeiro a razão de massas:
r=\frac{m}{m_0}=\frac{300}{20}=15.
  • Aplicando a fórmula:
f(300)=1,9\cdot 15^{-1/6}=1,9\cdot\exp\!\left(-\frac{1}{6}\ln 15\right).
  • Valores intermediários (usando aproximações de log):
\ln 15\approx 2,708050, \qquad -\frac{1}{6}\ln 15\approx -0,451342.
\exp(-0,451342)\approx 0,6366.
  • Portanto
f(300)\approx 1,9\times 0,6366\approx 1,2096\\ \text{pps}.
  • Arredondando sensatamente (duas casas decimais) dá \,f(300)\approx 1,21\\ \text{pps}.

Passo 5

Cálculo para o Tigre ( \,m=225\\ \text{kg}).
  • Razão de massas:
r=\frac{225}{20}=11{,}25.
  • Fórmula:
f(225)=1,9\cdot 11{,}25^{-1/6}=1,9\cdot\exp\!\left(-\frac{1}{6}\ln 11{,}25\right).
  • Valores intermediários:
\ln 11{,}25\approx 2,420368, \qquad -\frac{1}{6}\ln 11{,}25\approx -0,403395.
\exp(-0,403395)\approx 0,6679.
  • Portanto
f(225)\approx 1,9\times 0,6679\approx 1,2690\\ \text{pps}.
  • Arredondando: \,f(225)\approx 1,27\\ \text{pps}.

Passo 6

Cálculo para a Ovelha ( \,m=70\\ \text{kg}).
  • Razão de massas:
r=\frac{70}{20}=3{,}5.
  • Fórmula:
f(70)=1,9\cdot 3{,}5^{-1/6}=1,9\cdot\exp\!\left(-\frac{1}{6}\ln 3{,}5\right).
  • Valores intermediários:
\ln 3{,}5\approx 1,252763, \qquad -\frac{1}{6}\ln 3{,}5\approx -0,208794.
\exp(-0,208794)\approx 0,8116.
  • Portanto
f(70)\approx 1,9\times 0,8116\approx 1,5419\\ \text{pps}.
  • Arredondando: \,f(70)\approx 1,54\\ \text{pps}.

Passo 7

Verificação rápida e nota sobre arredondamento.
  • Para o cachorro ( m_0=20\\ \text{kg}) a fórmula dá obviamente f(20)=1,9\\ \text{pps}, que é o valor de referência.
  • Os resultados acima foram obtidos mantendo consistência numérica e arredondados a duas casas decimais; em uma prova é suficiente dar valores com duas casas decimais e explicar que foi usada a lei de escala e a referência.

Resposta

Zebra-das-planícies: 1,21\\ \text{pps}
Tigre: 1,27\\ \text{pps}
Ovelha: 1,54\\ \text{pps}
Cachorro: 1,9\\ \text{pps}

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