6- Considere dois condutores carregados isolados um com carga+q e outro com carga -q. Partindo da expressăo para energia potencial armazenada em distribuiçÖdes continuas de carga, obtenha a expressăo para energia potencial armazenada num capacitor de capacitânciaC.

Passo 1

O enunciado trata da energia potencial armazenada num capacitor formado por dois condutores isolados, um com carga +q e outro com carga -q. O conteúdo da matéria é energia eletrostática em distribuições contínuas de carga, cuja expressão geral é
U = tfrac12 integral rho( r),phi( r),d^3r,
onde rho é a densidade de carga e phi o potencial eletrostático produzido por essa distribuição.

Passo 2

Como as cargas +q e -q estão concentradas nas superfícies dos condutores, a integral se reduz à soma dos produtos carga times potencial em cada condutor:
U = tfrac12l(q,phi1 + (-q),phi2r) = tfrac12,q,(phi1 - phi2)
Aqui phi1 é o potencial do condutor com carga +q e phi2 o do condutor com carga -q.

Passo 3

Definimos a diferença de potencial entre os condutores como
V = phi1 - phi2,
e a capacitância do conjunto como
C = qV
Substituindo em U, obtemos
U = tfrac12,q,V = tfrac12,q;qC = q^22,C
Além disso, usando q = C,V, podemos reescrever
U = tfrac12,C,V^2

Resposta

U = q^22,C ou U = tfrac12,C,V^2 (ou) U = tfrac12,q,V

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