Considere um satélite de massa m em órbita circular, a uma distância h da superfície da Terra, cuja massa MT e raio RT são conhecidos. Lembre-se que a Lei da Gravitação Universal diz que a atração gravitacional entre 2 corpos de massas m1 e m2 separados por uma distância r é FG=-G m1 m2r^2 r, onde G é a constante da gravitação universal e r é o vetor unitário na direção radial. Qual o módulo da velocidade linear do satélite?
Usando os valores de RT=6,37 times 10^6 m, MT=6 times 10^24 kg, G=6,673 times 10^-11 N m^2 / kg^2 e uma altura h=1000 km, em quanto tempo o satélite considerado no item anterior dá uma volta em torno da Terra?

Passo 1

O enunciado considera um satélite de massa m em órbita circular a uma altura h acima da superfície da Terra. A Terra tem massa MT e raio RT. Primeiro precisamos achar a velocidade linear v do satélite usando a igualdade entre a força centrípeta e a força gravitacional. Em seguida, com essa velocidade, calculamos o período orbital T (o tempo de uma volta completa).

Passo 2

Equilibrando a força centrípeta com a força gravitacional temos
m,v^2r=G,m,MTr^2
onde r=RT+h. Simplificando m e rearranjando,
v=raizG,MTr

Passo 3

Substituindo r=RT+h=6,37times10^6,m+1,0times10^6,m=7,37times10^6,m,
v=raiz6,673times10^-11times6,0times10^247,37times10^6 approx7,37times10^3,m/s

Passo 4

O período orbital T é o tempo para percorrer 2pi r com velocidade v, ou seja
T=2pi,rv
Substituindo v do Passo 2 obtém-se também
T=2piraizr^3G,MT

Passo 5

Como r/v=7,37times10^6/7,37times10^3=10^3,s, temos
T=2pitimes10^3,sapprox6,28times10^3,sapprox1,75,happrox1h44min

Resposta

A velocidade linear do satélite é aproximadamente ,7,37times10^3,m/s.
O período orbital é aproximadamente 6,28times10^3,s, ou cerca de 1h44min.

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