Considere dois elétrons não interagentes em um poço quadrado infinito de largura a.
(a) Considerando que o sistema está em um estado singleto, construa o estado fundamental e o primeiro estado excitado do sistema.
(b) Considerando a situação descrita no item (a), calcule o valor esperado da distância quadrática \left\langle\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}\right\rangle, com respeito ao estado fundamental obtido no item (a).
(c) Considerando que o sistema está em um estado tripleto, construa o estado fundamental e o primeiro estado excitado do sistema.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as seguintes coisas:
  • Dois elétrons não interagentes confinados em um poço quadrado infinito de largura a (assumir o poço de x=0 a x=a).
  • Os elétrons são férmions de spin 1/2, logo a função de onda total deve ser antissimétrica perante a troca dos dois elétrons.
  • Pedidos:
    (a) Para o caso em que o sistema está em um estado singlete: construir o estado fundamental e o primeiro estado excitado do sistema (ou seja, escrever a função de onda total normalizada e indicar as energias).
    (b) Para a situação do item (a): calcular o valor esperado \left\langle\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}\right\rangle no estado fundamental obtido em (a).
    (c) Para o caso em que o sistema está em um estado triplete: construir o estado fundamental e o primeiro estado excitado do sistema (função de onda total normalizada e energias).
  • Informações relevantes implícitas que usarei mais adiante: soluções de uma partícula no poço quadrado (autofunções e autovalores) e a regra de simetrização/anti-simetrização do produto espacial × spin para férmions.

Passo 2

Autofunções e autovalores de uma partícula no poço quadrado de 0 a a.
A solução conhecida (derivação padrão: resolver a equação de Schrödinger com \psi(0)=\psi(a)=0) dá, para o n-ésimo nível:
\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right),\qquad n=1,2,3,\dots
essas funções estão normalizadas em [0,a]:
\int_0^a |\psi_n(x)|^2\,dx=1.
Os energias (autovalores) correspondentes são
E_n=\frac{\hbar^2\pi^2 n^2}{2m a^2}.
Aqui m é a massa do elétron e \hbar é a constante de Planck reduzida. Essas fórmulas definem o espaço de estados individuais que usaremos para montar as funções de duas partículas.

Passo 3

Estrutura do estado de duas partículas com spin e a condição de antissimetria.
  • A função de onda total de dois elétrons é produto do fator espacial e do fator spin. Denotando posições x_1,x_2 e spins por |\uparrow\rangle,|\downarrow\rangle, a condição de férmion é:
\Psi_{\text{total}}(x_1,s_1;x_2,s_2) = -\Psi_{\text{total}}(x_2,s_2;x_1,s_1).
  • Isso implica: se a parte de spin é simétrica sob troca, a parte espacial deve ser antissimétrica; se a parte de spin é antissimétrica, a parte espacial deve ser simétrica.
  • Estados de spin:
    • Singlete (antissimétrico em spin, único estado): \chi_{S=0}=\frac{1}{\sqrt{2}}\big(|\uparrow\downarrow\rangle-|\downarrow\uparrow\rangle\big).
    • Triplete (simétrico em spin, três componentes): \chi_{S=1,m=1}=|\uparrow\uparrow\rangle,\qquad \chi_{S=1,m=0}=\frac{1}{\sqrt{2}}\big(|\uparrow\downarrow\rangle+|\downarrow\uparrow\rangle\big),\qquad \chi_{S=1,m=-1}=|\downarrow\downarrow\rangle.
  • Construção espacial para dois níveis n e m:
    • Se n\neq m, combinações (normalizadas) simétrica e antissimétrica: \Psi^{(+)}_{n,m}(x_1,x_2)=\frac{1}{\sqrt{2}}\big(\psi_n(x_1)\psi_m(x_2)+\psi_m(x_1)\psi_n(x_2)\big),
\Psi^{(-)}_{n,m}(x_1,x_2)=\frac{1}{\sqrt{2}}\big(\psi_n(x_1)\psi_m(x_2)-\psi_m(x_1)\psi_n(x_2)\big).
  • Se n=m, a combinação antissimétrica é zero e a combinação espacial não degenerada é simplesmente \psi_n(x_1)\psi_n(x_2) (simétrica).

Passo 4

Resposta ao item (a): estado singlete — construir estado fundamental e primeiro excitado.
  • Estado singlete: spin do par é o singlete \chi_{S=0} (antissimétrico), logo a parte espacial deve ser simétrica.
  1. Estado fundamental singlete:
    • A menor energia espacial simétrica possível é colocar ambos os elétrons no nível n=1, porque para n=n a parte espacial \psi_1(x_1)\psi_1(x_2) é automaticamente simétrica.
    • Portanto a função total fundamental (normalizada) é \Psi_{\text{GS}}^{\text{(sing)}}(x_1,s_1;x_2,s_2)=\psi_1(x_1)\psi_1(x_2)\;\frac{1}{\sqrt{2}}\big(|\uparrow\downarrow\rangle-|\downarrow\uparrow\rangle\big).
    • Energia do estado fundamental: E_{\text{GS}}^{\text{(sing)}}=2E_1=2\frac{\hbar^2\pi^2}{2m a^2}=\frac{\hbar^2\pi^2}{m a^2}.
    • Comentário: não há violação do princípio de exclusão porque os spins são diferentes (o singlete envolve spin anti-paralelo).
  2. Primeiro estado excitado singlete:
    • A próxima menor energia com parte espacial simétrica é usando os níveis n=1 e n=2 e tomar a combinação espacial simétrica entre eles: \Psi_{1,2}^{(+)}(x_1,x_2)=\frac{1}{\sqrt{2}}\big(\psi_1(x_1)\psi_2(x_2)+\psi_2(x_1)\psi_1(x_2)\big).
    • O estado singlete correspondente (produto com o spin singlete) é \Psi_{\text{1ºexc}}^{\text{(sing)}}(x_1,s_1;x_2,s_2)=\Psi_{1,2}^{(+)}(x_1,x_2)\;\frac{1}{\sqrt{2}}\big(|\uparrow\downarrow\rangle-|\downarrow\uparrow\rangle\big).º
    • Energia desse primeiro excitado singlete: E_{1}^{\text{(sing,1ºexc)}}=E_1+E_2=\frac{\hbar^2\pi^2}{2m a^2}\,(1^2+2^2)=\frac{5\hbar^2\pi^2}{2m a^2}.º
    • Observação: a normalização \tfrac{1}{\sqrt{2}} em \Psi_{1,2}^{(+)} é necessária porque \psi_1 e \psi_2 são ortonormais; se n=m a forma muda conforme explicado antes.

Passo 5

Resposta ao item (b): cálculo de \left\langle\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}\right\rangle no estado fundamental singlete.
  • No estado fundamental singlete a parte espacial é \psi_1(x_1)\psi_1(x_2). Como o fator de spin é apenas um fator que não depende das posições, o valor esperado espacial é calculado com a densidade |\psi_1(x_1)|^2|\psi_1(x_2)|^2.
  • Escrevemos explicitamente o que queremos:
    \left\langle\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}\right\rangle =\iint_{0}^{a} |\psi_1(x_1)|^2\,|\psi_1(x_2)|^2\,(x_1-x_2)^2\,dx_1\,dx_2.
  • Porque a distribuição fatoriza (variáveis independentes com a mesma distribuição), podemos usar a identidade
    \left\langle\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}\right\rangle =\langle x_1^2\rangle+\langle x_2^2\rangle-2\langle x_1\rangle\langle x_2\rangle =2\langle x^2\rangle-2\langle x\rangle^2 =2\,\mathrm{Var}(x),
    onde \langle\cdot\rangle em um único argumento significa valor esperado com respeito a |\psi_1(x)|^2.
  • Calcular \langle x\rangle e \langle x^2\rangle para \psi_1(x)=\sqrt{2/a}\sin(\pi x/a):
    1. Primeiro,
      \langle x\rangle=\int_0^a x\,|\psi_1(x)|^2\,dx =\frac{2}{a}\int_0^a x\sin^2\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\,dx.
      Usando simetria do poço e a forma da função dá-se o resultado padrão
      \langle x\rangle=\frac{a}{2}.
      (Intuição: densidade é simétrica em torno de a/2.)
    2. Agora \langle x^2\rangle:
      \langle x^2\rangle=\frac{2}{a}\int_0^a x^2\sin^2\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\,dx.
      Usar \sin^2\theta=\tfrac{1}{2}(1-\cos 2\theta) e calcular os integrals:
      \langle x^2\rangle =\frac{2}{a}\cdot\frac{1}{2}\int_0^a x^2\,dx\;-\;\frac{2}{a}\cdot\frac{1}{2}\int_0^a x^2\cos\!\left(\frac{2\pi x}{a}\right)\,dx.
      A primeira integral é \int_0^a x^2\,dx=\tfrac{a^3}{3}.
      A segunda integral calculemos por partes. Denotando b=\tfrac{2\pi}{a},
      I=\int_0^a x^2\cos(bx)\,dx.
      Integração por partes duas vezes leva ao resultado (detalhes: a primeira parte dá termo com \sin(ba)=\sin 2\pi=0; a segunda parte reduz a um termo simples)
      I=\frac{a^3}{2\pi^2}.
      Substituindo,
      \langle x^2\rangle=\frac{1}{a}\cdot\frac{a^3}{3}-\frac{1}{a}\cdot\frac{a^3}{2\pi^2} =a^2\!\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2\pi^2}\right).
  • Portanto a variância:
    \mathrm{Var}(x)=\langle x^2\rangle-\langle x\rangle^2 =a^2\!\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2\pi^2}\right)-\left(\frac{a}{2}\right)^2 =a^2\!\left(\frac{1}{12}-\frac{1}{2\pi^2}\right).
  • Finalmente,
    \left\langle\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}\right\rangle =2\,\mathrm{Var}(x) =2a^2\!\left(\frac{1}{12}-\frac{1}{2\pi^2}\right) =a^2\!\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{\pi^2}\right).
    Como verificação numérica rápida: \tfrac{1}{6}-\tfrac{1}{\pi^2}\approx 0{,}065346, logo \left\langle\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}\right\rangle\approx 0{,}065346\,a^2.

Passo 6

Resposta ao item (c): estado triplete — construir estado fundamental e primeiro excitado.
  • Para um estado triplete a parte de spin é simétrica; então a parte espacial deve ser antissimétrica sob troca dos elétrons.
  1. Estado fundamental triplete:
    • A antissimetria espacial proíbe que os dois elétrons ocupem o mesmo nível n (pois \psi_n(x_1)\psi_n(x_2)-\psi_n(x_1)\psi_n(x_2)=0). O par de níveis de menor energia com n\neq m é n=1 e m=2.
    • A combinação espacial antissimétrica de 1 e 2 é \Psi_{1,2}^{(-)}(x_1,x_2)=\frac{1}{\sqrt{2}}\big(\psi_1(x_1)\psi_2(x_2)-\psi_2(x_1)\psi_1(x_2)\big).
    • O estado triplete fundamental completo é o produto dessa parte espacial antissimétrica por qualquer componente do triplete (há degenerescência de spin 3): \Psi_{\text{GS}}^{\text{(trip)},m}(x_1,s_1;x_2,s_2) =\Psi_{1,2}^{(-)}(x_1,x_2)\;\chi_{S=1,m},onde m=1,0,-1 indica os três componentes de spin.
    • Energia do estado fundamental triplete: E_{\text{GS}}^{\text{(trip)}}=E_1+E_2=\frac{5\hbar^2\pi^2}{2m a^2}.(Observe que isto é maior que o E_{\text{GS}}^{\text{(sing)}}=2E_1.)
  2. Primeiro estado excitado triplete:
    • O próximo par de níveis distintos com menor energia é n=1 e m=3. A combinação antissimétrica é \Psi_{1,3}^{(-)}(x_1,x_2)=\frac{1}{\sqrt{2}}\big(\psi_1(x_1)\psi_3(x_2)-\psi_3(x_1)\psi_1(x_2)\big).
    • Os estados tripletes excitados correspondentes são \Psi_{\text{1ºexc}}^{\text{(trip)},m}(x_1,s_1;x_2,s_2)=\Psi_{1,3}^{(-)}(x_1,x_2)\;\chi_{S=1,m},ºcom energia E_{1}^{\text{(trip,1ºexc)}}=E_1+E_3=\frac{\hbar^2\pi^2}{2m a^2}(1^2+3^2)=\frac{10\hbar^2\pi^2}{2m a^2}=\frac{5\hbar^2\pi^2}{m a^2}.º
    • Observação: cada um desses estados tem degenerescência de spin 3 (valores de m).

Resposta

(a) Estado singlete fundamental:
\Psi_{\text{GS}}^{\text{(sing)}}(x_1,s_1;x_2,s_2)=\psi_1(x_1)\psi_1(x_2)\;\frac{1}{\sqrt{2}}\big(|\uparrow\downarrow\rangle-|\downarrow\uparrow\rangle\big),\qquad E_{\text{GS}}^{\text{(sing)}}=2E_1=\frac{\hbar^2\pi^2}{m a^2}.
(a) Primeiro estado excitado singlete:
\Psi_{\text{1ºexc}}^{\text{(sing)}}(x_1,s_1;x_2,s_2)=\frac{1}{\sqrt{2}}\big(\psi_1(x_1)\psi_2(x_2)+\psi_2(x_1)\psi_1(x_2)\big)\;\frac{1}{\sqrt{2}}\big(|\uparrow\downarrow\rangle-|\downarrow\uparrow\rangle\big),º
E_{1}^{\text{(sing,1ºexc)}}=E_1+E_2=\frac{5\hbar^2\pi^2}{2m a^2}.º
(b)
\left\langle\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}\right\rangle = a^2\!\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{\pi^2}\right)\approx 0{,}065346\,a^2.
(c) Estado triplete fundamental (três componentes m=1,0,-1):
\Psi_{\text{GS}}^{\text{(trip)},m}(x_1,s_1;x_2,s_2) =\frac{1}{\sqrt{2}}\big(\psi_1(x_1)\psi_2(x_2)-\psi_2(x_1)\psi_1(x_2)\big)\;\chi_{S=1,m},
E_{\text{GS}}^{\text{(trip)}}=E_1+E_2=\frac{5\hbar^2\pi^2}{2m a^2}.
(c) Primeiro estado excitado triplete:
\Psi_{\text{1ºexc}}^{\text{(trip)},m}(x_1,s_1;x_2,s_2) =\frac{1}{\sqrt{2}}\big(\psi_1(x_1)\psi_3(x_2)-\psi_3(x_1)\psi_1(x_2)\big)\;\chi_{S=1,m},º
E_{1}^{\text{(trip,1ºexc)}}=E_1+E_3=\frac{5\hbar^2\pi^2}{m a^2}.º

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