Considere dois elétrons não interagentes em um poço quadrado infinito de largura
.
(a) Considerando que o sistema está em um estado singleto, construa o estado fundamental e o primeiro estado excitado do sistema.
(b) Considerando a situação descrita no item (a), calcule o valor esperado da distância quadrática
, com respeito ao estado fundamental obtido no item (a).
(c) Considerando que o sistema está em um estado tripleto, construa o estado fundamental e o primeiro estado excitado do sistema.
(a) Considerando que o sistema está em um estado singleto, construa o estado fundamental e o primeiro estado excitado do sistema.
(b) Considerando a situação descrita no item (a), calcule o valor esperado da distância quadrática
(c) Considerando que o sistema está em um estado tripleto, construa o estado fundamental e o primeiro estado excitado do sistema.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as seguintes coisas:
- Dois elétrons não interagentes confinados em um poço quadrado infinito de largura
(assumir o poço de a ). - Os elétrons são férmions de spin
, logo a função de onda total deve ser antissimétrica perante a troca dos dois elétrons. - Pedidos:
(a) Para o caso em que o sistema está em um estado singlete: construir o estado fundamental e o primeiro estado excitado do sistema (ou seja, escrever a função de onda total normalizada e indicar as energias).
(b) Para a situação do item (a): calcular o valor esperadono estado fundamental obtido em (a).
(c) Para o caso em que o sistema está em um estado triplete: construir o estado fundamental e o primeiro estado excitado do sistema (função de onda total normalizada e energias). - Informações relevantes implícitas que usarei mais adiante: soluções de uma partícula no poço quadrado (autofunções e autovalores) e a regra de simetrização/anti-simetrização do produto espacial × spin para férmions.
Passo 2
Autofunções e autovalores de uma partícula no poço quadrado de
a
.
A solução conhecida (derivação padrão: resolver a equação de Schrödinger com
) dá, para o
-ésimo nível:
essas funções estão normalizadas em
:
Os energias (autovalores) correspondentes são
Aqui
é a massa do elétron e
é a constante de Planck reduzida. Essas fórmulas definem o espaço de estados individuais que usaremos para montar as funções de duas partículas.
Passo 3
Estrutura do estado de duas partículas com spin e a condição de antissimetria.
- A função de onda total de dois elétrons é produto do fator espacial e do fator spin. Denotando posições
e spins por , a condição de férmion é:
- Isso implica: se a parte de spin é simétrica sob troca, a parte espacial deve ser antissimétrica; se a parte de spin é antissimétrica, a parte espacial deve ser simétrica.
- Estados de spin:
- Singlete (antissimétrico em spin, único estado):
- Triplete (simétrico em spin, três componentes):
- Singlete (antissimétrico em spin, único estado):
- Construção espacial para dois níveis
e : - Se
, combinações (normalizadas) simétrica e antissimétrica:
- Se
- Se
, a combinação antissimétrica é zero e a combinação espacial não degenerada é simplesmente (simétrica).
Passo 4
Resposta ao item (a): estado singlete — construir estado fundamental e primeiro excitado.
- Estado singlete: spin do par é o singlete
(antissimétrico), logo a parte espacial deve ser simétrica.
-
Estado fundamental singlete:
- A menor energia espacial simétrica possível é colocar ambos os elétrons no nível
, porque para a parte espacial é automaticamente simétrica. - Portanto a função total fundamental (normalizada) é
- Energia do estado fundamental:
- Comentário: não há violação do princípio de exclusão porque os spins são diferentes (o singlete envolve spin anti-paralelo).
- A menor energia espacial simétrica possível é colocar ambos os elétrons no nível
-
Primeiro estado excitado singlete:
- A próxima menor energia com parte espacial simétrica é usando os níveis
e e tomar a combinação espacial simétrica entre eles: - O estado singlete correspondente (produto com o spin singlete) é
- Energia desse primeiro excitado singlete:
- Observação: a normalização
em é necessária porque e são ortonormais; se a forma muda conforme explicado antes.
- A próxima menor energia com parte espacial simétrica é usando os níveis
Passo 5
Resposta ao item (b): cálculo de
no estado fundamental singlete.
-
No estado fundamental singlete a parte espacial é
. Como o fator de spin é apenas um fator que não depende das posições, o valor esperado espacial é calculado com a densidade . -
Escrevemos explicitamente o que queremos:
-
Porque a distribuição fatoriza (variáveis independentes com a mesma distribuição), podemos usar a identidadeonde
em um único argumento significa valor esperado com respeito a . -
Calcular
e para : -
Primeiro,Usando simetria do poço e a forma da função dá-se o resultado padrão(Intuição: densidade é simétrica em torno de
.) -
Agora
: Usare calcular os integrals: A primeira integral é.
A segunda integral calculemos por partes. Denotando, Integração por partes duas vezes leva ao resultado (detalhes: a primeira parte dá termo com; a segunda parte reduz a um termo simples) Substituindo,
-
-
Portanto a variância:
-
Finalmente,Como verificação numérica rápida:
, logo .
Passo 6
Resposta ao item (c): estado triplete — construir estado fundamental e primeiro excitado.
- Para um estado triplete a parte de spin é simétrica; então a parte espacial deve ser antissimétrica sob troca dos elétrons.
-
Estado fundamental triplete:
- A antissimetria espacial proíbe que os dois elétrons ocupem o mesmo nível
(pois ). O par de níveis de menor energia com é e . - A combinação espacial antissimétrica de
e é - O estado triplete fundamental completo é o produto dessa parte espacial antissimétrica por qualquer componente do triplete (há degenerescência de spin 3):
onde indica os três componentes de spin. - Energia do estado fundamental triplete:
(Observe que isto é maior que o .)
- A antissimetria espacial proíbe que os dois elétrons ocupem o mesmo nível
-
Primeiro estado excitado triplete:
- O próximo par de níveis distintos com menor energia é
e . A combinação antissimétrica é - Os estados tripletes excitados correspondentes são
com energia - Observação: cada um desses estados tem degenerescência de spin 3 (valores de
).
- O próximo par de níveis distintos com menor energia é
Resposta
(a) Estado singlete fundamental:
(a) Primeiro estado excitado singlete:
(b)
(c) Estado triplete fundamental (três componentes
):
(c) Primeiro estado excitado triplete: