Questão 1
Qual o valor esperado da energia da partícula livre?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Qual o valor esperado da energia da partícula livre?” Não foi fornecida nenhuma função de onda específica nem dados numéricos.
Informações relevantes dadas pelo enunciado (ou antes conhecidas para esse problema):
  • Só foi mencionada “partícula livre” (ou seja, sem potencial), mas não foi dada a função de onda \psi nem a distribuição em momento \varphi.
    Como não há uma função de onda específica, não é possível calcular um valor numérico único. Vou então:
  • Mostrar a fórmula geral e explicar passo a passo como calcular o valor esperado da energia para uma partícula livre;
  • Mostrar as duas formas usuais (espaço de posição e espaço de momento), justificar por que são equivalentes e dar dois exemplos concretos (estado de momento definido e pacote de ondas gaussiano) para ver o que aparece na prática.

Passo 2

Conceito básico: valor esperado de um operador.
Em mecânica quântica, o valor esperado (médio) de um operador \hat A num estado descrito por \psi(x,t) é
\langle \hat A \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x,t)\,\hat A\,\psi(x,t)\,dx.
Explicando cada símbolo:
  • \psi(x,t) é a função de onda no espaço de posição (complexa) normalizada: \int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x,t)|^2dx=1.
  • \psi^*(x,t) é o conjugado complexo de \psi.
  • \hat A é o operador associado à grandeza observável (por exemplo, momento, energia).
    Essa é a fórmula que vamos aplicar para a energia.

Passo 3

Hamiltoniano da partícula livre (1D) e operador momento.
Para uma partícula livre (sem potencial), o Hamiltoniano é apenas a energia cinética:
\hat H = \frac{\hat p^2}{2m},
onde \hat p é o operador momento. No espaço de posição, o operador momento vale
\hat p = -i\hbar\frac{d}{dx}.
Substituindo,
\hat H = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}.
Aqui:
  • m é a massa da partícula;
  • \hbar é a constante de Planck reduzida;
  • \frac{d}{dx} e \frac{d^2}{dx^2} são derivadas no espaço de posição.

Passo 4

Fórmula do valor esperado da energia em espaço de posição e derivação útil.
Usando a definição do Passo 2 com \hat H do Passo 3:
\langle E \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x,t)\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\right)\psi(x,t)\,dx.
Podemos manipular essa integral por partes para obter uma forma mais intuitiva. Aplicando integração por partes uma vez (e assumindo que \psi e suas derivadas desaparecem nas fronteiras x\to\pm\infty, condição usual para funções físicas normalizáveis), obtemos:
\langle E \rangle = \frac{\hbar^2}{2m}\int_{-\infty}^{\infty}\left|\frac{d\psi(x,t)}{dx}\right|^{2}dx,
pois o termo de contorno \left.-\frac{\hbar^2}{2m}\psi^*(x,t)\frac{d\psi}{dx}\right|_{-\infty}^{\infty} se anula sob as condições de decaimento.
Interpretação física: a energia média é proporcional ao integral do quadrado do gradiente da função de onda — energia ligada à “variação espacial” da onda (kinetic energy).

Passo 5

Forma equivalente em espaço de momento (muito mais direta para energia).
Definir a transformada de Fourier (convenção):
\varphi(p,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ipx/\hbar}\,\psi(x,t)\,dx,
onde \varphi(p,t) é a função de onda no espaço de momento e satisfaz \int_{-\infty}^{\infty}|\varphi(p,t)|^2dp=1. No espaço de momento, o operador momento age por multiplicação por p. Assim, o Hamiltoniano torna-se multiplicador por p^2/(2m), e o valor esperado é
\langle E \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{p^2}{2m}\,|\varphi(p,t)|^{2}\,dp.
Isso é muitas vezes a forma mais simples: a energia média é a média da função p^2/(2m) com a distribuição de probabilidade do momento |\varphi(p,t)|^2.

Passo 6

Relação entre as duas formas e condição de tempo.
As duas expressões (posição e momento) são matematicamente equivalentes pela transformada de Fourier (pode-se provar passando do operador derivada para multiplicação por p na transformada). Para a partícula livre, a distribuição de momentum |\varphi(p,t)|^2 é imutável no tempo (se a evolução for unitária sem potencial, cada componente de momento apenas ganha fase temporal), então \langle E\rangle é constante no tempo — faz sentido físico: energia média de uma partícula livre não muda se não há potencial/external forces.

Passo 7

Exemplo 1 — estado de momento definido (autovalor de \hat p).
Se a partícula está num autestado de momento bem definido p_0 (estado de momento puro), então a densidade no espaço de momento é |\varphi(p)|^2=\delta(p-p_0) (ou, mais rigorosamente, um plano de onda normalizado em caixa); daí
\langle E\rangle = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{p^2}{2m}\,\delta(p-p_0)\,dp = \frac{p_0^2}{2m}.
Interpretação prática: partícula com momento certo tem energia certa igual a p_0^2/(2m).

Passo 8

Exemplo 2 — pacote gaussiano no espaço de momento.
Suponha que a distribuição de momento seja gaussiana centrada em p_0 com variância \sigma_p^2:
|\varphi(p)|^2 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma_p}\exp\!\left(-\frac{(p-p_0)^2}{2\sigma_p^2}\right).
Calcular \langle E\rangle:
\langle E\rangle = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{p^2}{2m}\,|\varphi(p)|^2\,dp = \frac{1}{2m}\langle p^2\rangle.
E usamos \langle p^2\rangle = \langle p\rangle^2 + (\Delta p)^2 = p_0^2+\sigma_p^2. Logo
\langle E\rangle = \frac{p_0^2}{2m} + \frac{\sigma_p^2}{2m}.
Interpretação: além da energia média associada ao momento médio p_0, existe um acréscimo devido à largura da distribuição de momentum (incerteza de momento).

Passo 9

Resumo prático para a prova e dicas de aplicação rápida:
  • Se te derem \psi(x,t): usar a forma em posição e calcular \langle E\rangle=\int \psi^*(x,t)\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\right)\psi\,dx. Se puder, integrar por partes para obter \frac{\hbar^2}{2m}\int | \psi' |^2 dx.
  • Se te derem \varphi(p,t) ou distribuição de momento: usar \langle E\rangle=\int \frac{p^2}{2m}|\varphi(p,t)|^2dp (muito direto).
  • Lembre de checar condições de contorno (decrescimento de \psi) para poder descartar termos de fronteira ao integrar por partes.
  • Para estados de momento: \langle E\rangle = p_0^2/(2m). Para pacotes, some a contribuição de \langle p^2\rangle.

Resposta

\displaystyle \langle E\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\psi^*(x,t)\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\right)\psi(x,t)\,dx
\displaystyle \langle E\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{p^2}{2m}\,|\varphi(p,t)|^2\,dp

Exercícios relacionados