Uma partícula deixa a origem com uma velocidade inicial \vec{v}_{i}=(3 \hat{i}) \mathrm{m} / \mathrm{s} e uma aceleração constante \vec{a}=(-\hat{i}-0,5 \hat{j}) \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}. Quando a partícula atinge o valor máximo da coordenada x, quais são:
a) o módulo do vetor velocidade?
b) o vetor posição \vec{r} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Velocidade inicial: \vec{v}_{i}=(3\hat{i})\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}. Ou seja, v_{ix}=3\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} e v_{iy}=0\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}.
  • Aceleração constante: \vec{a}=(-\hat{i}-0,5\hat{j})\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}. Ou seja, a_x=-1\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} e a_y=-0,5\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}.
  • Posição inicial: a partícula parte da origem, então \vec{r}_0=\vec{0}.
O que é pedido:
a) o módulo do vetor velocidade quando a partícula atinge o valor máximo da coordenada x;
b) o vetor posição \vec{r} nesse mesmo instante.

Passo 2

Fórmulas de cinemática para aceleração constante (devagar e mastigado):
  • A velocidade em função do tempo é dada por
\vec{v}(t)=\vec{v}_i+\vec{a}\,t,
onde \vec{v}_i é a velocidade inicial, \vec{a} é a aceleração (constante) e t é o tempo.
  • A posição em função do tempo é dada por
\vec{r}(t)=\vec{r}_0+\vec{v}_i\,t+\tfrac{1}{2}\vec{a}\,t^{2},
onde \vec{r}_0 é a posição inicial.
Explicação curta: essas fórmulas vêm da integração da aceleração constante; cada componente (x e y) obedece às mesmas relações escalares.

Passo 3

Condição para atingir o valor máximo de x:
  • A coordenada x(t) atinge um máximo quando sua derivada temporal é zero, ou seja quando \dfrac{d x}{d t}=v_x(t)=0.
  • Assim, para encontrar o tempo t_{\text{máx}}á em que x é máximo devemos resolver v_x(t)=0.

Passo 4

Calcular o tempo em que v_x(t)=0:
  • Usando a fórmula da velocidade na componente x:
v_x(t)=v_{ix}+a_x t.
  • Substituindo v_{ix}=3 e a_x=-1:
v_x(t)=3+(-1)\,t=3-t.
  • Resolver v_x(t)=0:
3-t=0 \quad\Rightarrow\quad t=3\\ \text{s}.
Verificação de que é máximo: a segunda derivada de x é a_x=-1<0, então é realmente um máximo.

Passo 5

Calcular a velocidade no instante t=3\\ \text{s}:
  • Componente x: v_x(3)=3-3=0\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} (já usado).
  • Componente y: usar v_y(t)=v_{iy}+a_y t. Como v_{iy}=0 e a_y=-0,5:
v_y(3)=0+(-0,5)\cdot 3=-1,5\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}.
  • Vetor velocidade no instante:
\vec{v}(3)=0\hat{i}-1,5\hat{j}\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}.
  • Módulo (velocidade escalar) é
\lVert \vec{v}(3)\rVert=\sqrt{v_x(3)^2+v_y(3)^2}=\sqrt{0^2+(-1,5)^2}=1,5\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}.
Pequena interpretação: mesmo que a partícula pare de se mover no eixo x nesse instante, ela ainda tem componente de velocidade em y.

Passo 6

Calcular a posição \vec{r}(3) usando \vec{r}(t)=\vec{r}_0+\vec{v}_i t+\tfrac{1}{2}\vec{a}t^2:
  • Componente x:
x(3)=0+v_{ix}\cdot 3+\tfrac{1}{2}a_x\cdot 3^{2}=3\cdot 3+\tfrac{1}{2}(-1)\cdot 9=9-4,5=4,5\\ \mathrm{m}.
  • Componente y:
y(3)=0+v_{iy}\cdot 3+\tfrac{1}{2}a_y\cdot 3^{2}=0+\tfrac{1}{2}(-0,5)\cdot 9= -0,25\cdot 9= -2,25\\ \mathrm{m}.
  • Portanto o vetor posição é
\vec{r}(3)=4,5\hat{i}-2,25\hat{j}\\ \mathrm{m}.

Resposta

1,5\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}
\vec{r}=4,5\hat{i}-2,25\hat{j}\\ \mathrm{m}

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