Uma partícula deixa a origem com uma velocidade inicial
e uma aceleração constante
. Quando a partícula atinge o valor máximo da coordenada
, quais são:
a) o módulo do vetor velocidade?
b) o vetor posição
?
a) o módulo do vetor velocidade?
b) o vetor posição
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Velocidade inicial:
. Ou seja, e . - Aceleração constante:
. Ou seja, e . - Posição inicial: a partícula parte da origem, então
.
O que é pedido:
a) o módulo do vetor velocidade quando a partícula atinge o valor máximo da coordenada ;
b) o vetor posição nesse mesmo instante.
a) o módulo do vetor velocidade quando a partícula atinge o valor máximo da coordenada
b) o vetor posição
Passo 2
Fórmulas de cinemática para aceleração constante (devagar e mastigado):
- A velocidade em função do tempo é dada por
onde
é a velocidade inicial,
é a aceleração (constante) e
é o tempo.
- A posição em função do tempo é dada por
onde
é a posição inicial.
Explicação curta: essas fórmulas vêm da integração da aceleração constante; cada componente (x e y) obedece às mesmas relações escalares.
Passo 3
Condição para atingir o valor máximo de
:
- A coordenada
atinge um máximo quando sua derivada temporal é zero, ou seja quando . - Assim, para encontrar o tempo
em que é máximo devemos resolver .
Passo 4
Calcular o tempo em que
:
- Usando a fórmula da velocidade na componente
:
- Substituindo
e :
- Resolver
:
Verificação de que é máximo: a segunda derivada de
é
, então é realmente um máximo.
Passo 5
Calcular a velocidade no instante
:
- Componente
: (já usado). - Componente
: usar . Como e :
- Vetor velocidade no instante:
- Módulo (velocidade escalar) é
Pequena interpretação: mesmo que a partícula pare de se mover no eixo
nesse instante, ela ainda tem componente de velocidade em
.
Passo 6
Calcular a posição
usando
:
- Componente
:
- Componente
:
- Portanto o vetor posição é