Em um sistema unidimensional, considere um elétron preso em um autoestado de um poço de potencial na forma de uma função delta de Dirac, V(x)=-alpha de. Assinale a alternativa que contém uma afirmação verdadeira:
b) A energia deste elétron só pode ser E=-m alpha^22 hbar^2

Passo 1

Então, a gente tem um elétron andando num sistema unidimensional, ou seja, só pode se mover pra frente e pra trás numa linha. Esse elétron está preso num “poço de potencial” que é representado por uma função bem específica chamada delta de Dirac, que é $ V(x) = -\alpha \delta(x) $. O que a gente precisa fazer aqui é verificar se a afirmação de que a energia desse elétron só pode ser $ E = \frac{-m \alpha^{2}}{2 \hbar^{2}} $ é verdadeira. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Mecânica Quântica, especialmente sobre como elétrons se comportam em potenciais como esse.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é esse potencial delta de Dirac. A função delta de Dirac, $ \delta(x) $, é como um “spike” infinitamente estreito e alto no ponto $ x = 0 $, que tem uma área total igual a 1. Quando multiplicamos por $ -\alpha $, temos um potencial muito localizado e atraente nesse ponto. Na Mecânica Quântica, um elétron num potencial como esse pode ter estados ligados, ou seja, estados de energia negativa onde o elétron está “preso” no potencial.

Passo 3

Para encontrar a energia dos estados ligados nesse potencial, a gente resolve a equação de Schrödinger para esse sistema. A solução para a energia de um estado ligado num potencial delta de Dirac em uma dimensão é dada por:
E = -m alpha^22 hbar^2
Aqui, $ m $ é a massa do elétron e $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida. Importante destacar que, em um potencial delta de Dirac em uma dimensão, existe apenas um único estado ligado com essa energia específica.

Resposta

A alternativa b) está correta. A energia desse elétron é $ E = \frac{-m \alpha^{2}}{2 \hbar^{2}} $.

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