Considere dois eventos A e B, mutuamente exclusivos, com P(A)=0,3 e P(B)=0,5. Calcule:
P\left([A \cap B]^{c}\right)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa específica:
  • Dados: P(A)=0,3 e P(B)=0,5.
  • Informação adicional: A e B são mutuamente exclusivos (ou seja, não podem ocorrer ao mesmo tempo).
  • Pergunta: calcular P\left([A \cap B]^{c}\right).

Passo 2

Vamos lembrar o que significa o complemento de um evento e uma propriedade básica de probabilidade.
  • Definição de complemento: para um evento E, o complemento E^{c} é o conjunto de resultados em que E não ocorre.
  • Propriedade importante: E e E^{c} são disjuntos e cobrem todo o espaço amostral S. Portanto vale a identidade
P(E)+P(E^{c})=1,
o que implica
P(E^{c})=1-P(E).
Aqui P(E) é a probabilidade do evento E e P(E^{c}) a probabilidade do evento complementar.

Passo 3

Agora usemos a informação de que A e B são mutuamente exclusivos.
  • Mutuamente exclusivos significa que A\cap B=\varnothing (o conjunto vazio), isto é, não existe resultado que esteja em A e em B simultaneamente.
  • Pela propriedade das probabilidades, P(\varnothing)=0. Logo
P(A\cap B)=0.

Passo 4

Aplicando a fórmula do complemento do Passo 2 ao evento A\cap B:
P\bigl((A\cap B)^{c}\bigr)=1-P(A\cap B).
Substituindo o valor encontrado no Passo 3:
P\bigl((A\cap B)^{c}\bigr)=1-0=1.

Passo 5

Para reforçar a intuição, uma verificação alternativa usando as Leis de De Morgan e inclusão-exclusão:
  • De Morgan: (A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}.
  • Calculando P(A^{c}) e P(B^{c}):
P(A^{c})=1-P(A)=1-0,3=0,7,
P(B^{c})=1-P(B)=1-0,5=0,5.
  • Usando inclusão-exclusão:
P(A^{c}\cup B^{c})=P(A^{c})+P(B^{c})-P(A^{c}\cap B^{c}).
Mas A^{c}\cap B^{c}=(A\cup B)^{c}, então
P(A^{c}\cap B^{c})=1-P(A\cup B).
Como A e B são disjuntos, P(A\cup B)=P(A)+P(B)=0,3+0,5=0,8. Assim
P(A^{c}\cap B^{c})=1-0,8=0,2.
Finalmente
P(A^{c}\cup B^{c})=0,7+0,5-0,2=1.
Isto confirma o resultado do Passo 4.

Resposta

1

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