Considere dois eventos
e
, mutuamente exclusivos, com
e
. Calcule:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa específica:
- Dados:
e . - Informação adicional:
e são mutuamente exclusivos (ou seja, não podem ocorrer ao mesmo tempo). - Pergunta: calcular
.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa o complemento de um evento e uma propriedade básica de probabilidade.
- Definição de complemento: para um evento
, o complemento é o conjunto de resultados em que não ocorre. - Propriedade importante:
e são disjuntos e cobrem todo o espaço amostral . Portanto vale a identidade
o que implica
Aqui
é a probabilidade do evento
e
a probabilidade do evento complementar.
Passo 3
Agora usemos a informação de que
e
são mutuamente exclusivos.
- Mutuamente exclusivos significa que
(o conjunto vazio), isto é, não existe resultado que esteja em e em simultaneamente. - Pela propriedade das probabilidades,
. Logo
Passo 4
Aplicando a fórmula do complemento do Passo 2 ao evento
:
Substituindo o valor encontrado no Passo 3:
Passo 5
Para reforçar a intuição, uma verificação alternativa usando as Leis de De Morgan e inclusão-exclusão:
- De Morgan:
. - Calculando
e :
- Usando inclusão-exclusão:
Mas
, então
Como
e
são disjuntos,
. Assim
Finalmente
Isto confirma o resultado do Passo 4.