Um time de futebol disputará um torneio em três jogos. Em cada jogo, o time tem a probabilidade de
de vencer,
de perder e
de empatar. Para ser o campeão do torneio o time deverá vencer mais jogos do que perder ou empatar. Supondo os resultados de cada jogo, eventos independentes, determine a probabilidade desse time ser campeão do torneio.
Passo 1
O enunciado diz: o time joga três partidas independentes. Em cada jogo as probabilidades são:
O time será campeão se, ao fim das três partidas, o número de vitórias for estritamente maior que o número de derrotas e também estritamente maior que o número de empates. Ou seja, se denotarmos por
o número de vitórias, por
o número de derrotas e por
o número de empates, com
queremos calcular
Informações relevantes listadas:
- Há exatamente três jogos.
- Eventos independentes.
- Probabilidades por jogo: vitória
, derrota , empate . - Objetivo: probabilidade de
e .
Passo 2
Modelo e fórmula que vamos usar: como cada jogo tem três possíveis resultados e são independentes, as probabilidades dos contadores
seguem uma distribuição multinomial com
. A probabilidade de ocorrer exatamente
,
,
(com
) é dada por
Explicando a fórmula:
conta o número de sequências diferentes de resultados que levam às contagens
. O termo
é a probabilidade de obter
vitórias,
a das
derrotas e
a dos
empates, e como os jogos são independentes multiplicamos essas probabilidades.
Breve explicação de fatorial:
(lê-se “
fatorial”) é o produto
. Ex.:
,
,
.
Passo 3
Vamos ver quais valores de
podem satisfazer
e
quando
.
- Se
então . Aqui e : satisfaz. - Se
então . As possibilidades são e . Em ambas e ou e : satisfazem. - Se
então . Para e precisaríamos de e , ou seja e , mas impede isso. Logo nenhum caso com funciona. - Se
impossível.
Portanto só precisamos calcular as probabilidades dos casos
,
e
.
Passo 4
Calcule a probabilidade de
:
Agora o valor numérico:
Passo 5
Calcule a probabilidade de
. A coeficiente multinomial é
. Assim
Computando:
então
Passo 6
Calcule a probabilidade de
. Pela simetria (troca derrota ↔ empate as probabilidades por jogo são iguais
), o cálculo é análogo ao do passo anterior:
Passo 7
Somamos as probabilidades dos casos favoráveis:
Fazendo a soma:
Passo 8
Interpretação rápida: a probabilidade final é
, ou seja, há chance de 50% do time terminar com mais vitórias do que derrotas e empates separadamente. Isso faz sentido porque as configurações favoráveis (duas vitórias ou três vitórias) têm peso combinado igual a metade do espaço de probabilidades, dado o peso maior das vitórias por jogo (
).