Um time de futebol disputará um torneio em três jogos. Em cada jogo, o time tem a probabilidade de \mathbf{5 0} \boldsymbol{\%} de vencer, \mathbf{2 5} \boldsymbol{\%} de perder e \mathbf{2 5} \boldsymbol{\%} de empatar. Para ser o campeão do torneio o time deverá vencer mais jogos do que perder ou empatar. Supondo os resultados de cada jogo, eventos independentes, determine a probabilidade desse time ser campeão do torneio.

Passo 1

O enunciado diz: o time joga três partidas independentes. Em cada jogo as probabilidades são:
P(\text{vitória})=0,5,\quad P(\text{derrota})=0,25,\quad P(\text{empate})=0,25.ó
O time será campeão se, ao fim das três partidas, o número de vitórias for estritamente maior que o número de derrotas e também estritamente maior que o número de empates. Ou seja, se denotarmos por W o número de vitórias, por L o número de derrotas e por D o número de empates, com
W+L+D=3,
queremos calcular
P\bigl(W>L\\ \text{e}\\ W>D\bigr).
Informações relevantes listadas:
  • Há exatamente três jogos.
  • Eventos independentes.
  • Probabilidades por jogo: vitória 0,5, derrota 0,25, empate 0,25.
  • Objetivo: probabilidade de W>L e W>D.

Passo 2

Modelo e fórmula que vamos usar: como cada jogo tem três possíveis resultados e são independentes, as probabilidades dos contadores (W,L,D) seguem uma distribuição multinomial com n=3. A probabilidade de ocorrer exatamente W=w, L=l, D=d (com w+l+d=3) é dada por
P(W=w,L=l,D=d)=\frac{3!}{w!\,l!\,d!}\,(0,5)^{w}\,(0,25)^{l}\,(0,25)^{d}.
Explicando a fórmula: \frac{3!}{w!\,l!\,d!} conta o número de sequências diferentes de resultados que levam às contagens (w,l,d). O termo (0,5)^{w} é a probabilidade de obter w vitórias, (0,25)^{l} a das l derrotas e (0,25)^{d} a dos d empates, e como os jogos são independentes multiplicamos essas probabilidades.
Breve explicação de fatorial: n! (lê-se “ n fatorial”) é o produto n!=n\cdot(n-1)\cdots1. Ex.: 3!=6, 2!=2, 0!=1.

Passo 3

Vamos ver quais valores de w podem satisfazer w>l e w>d quando w+l+d=3.
  • Se w=3 então (w,l,d)=(3,0,0). Aqui 3>0 e 3>0: satisfaz.
  • Se w=2 então l+d=1. As possibilidades são (2,1,0) e (2,0,1). Em ambas 2>1 e 2>0 ou 2>0 e 2>1: satisfazem.
  • Se w=1 então l+d=2. Para w>l e w>d precisaríamos de 1>l e 1>d, ou seja l\le0 e d\le0, mas l+d=2 impede isso. Logo nenhum caso com w=1 funciona.
  • Se w=0 impossível.
Portanto só precisamos calcular as probabilidades dos casos (3,0,0), (2,1,0) e (2,0,1).

Passo 4

Calcule a probabilidade de (3,0,0):
P(3,0,0)=\frac{3!}{3!\,0!\,0!}(0,5)^3(0,25)^0(0,25)^0=(0,5)^3.
Agora o valor numérico:
(0,5)^3=0,5\cdot0,5\cdot0,5=0,125.

Passo 5

Calcule a probabilidade de (2,1,0). A coeficiente multinomial é \frac{3!}{2!\,1!\,0!}=3. Assim
P(2,1,0)=3\,(0,5)^2(0,25)^1(0,25)^0.
Computando:
(0,5)^2=0,25,\quad (0,25)^1=0,25,
então
P(2,1,0)=3\cdot0,25\cdot0,25=3\cdot0,0625=0,1875.

Passo 6

Calcule a probabilidade de (2,0,1). Pela simetria (troca derrota ↔ empate as probabilidades por jogo são iguais 0,25), o cálculo é análogo ao do passo anterior:
P(2,0,1)=3\,(0,5)^2(0,25)^0(0,25)^1=0,1875.

Passo 7

Somamos as probabilidades dos casos favoráveis:
P(\text{campeão})=P(3,0,0)+P(2,1,0)+P(2,0,1)=0,125+0,1875+0,1875.ã
Fazendo a soma:
0,125+0,1875+0,1875=0,5.

Passo 8

Interpretação rápida: a probabilidade final é 0,5, ou seja, há chance de 50% do time terminar com mais vitórias do que derrotas e empates separadamente. Isso faz sentido porque as configurações favoráveis (duas vitórias ou três vitórias) têm peso combinado igual a metade do espaço de probabilidades, dado o peso maior das vitórias por jogo ( 0,5).

Resposta

\tfrac{1}{2}

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