Sejam os resultados de uma pesquisa:
a) 40 \% dos clientes compram o produto A
b) 50% dos clientes compram o produto B
c) 40 \% dos clientes compram o produto C
d) 18 \% dos clientes compram o produto A e B
e) 16 \% dos clientes compram o produto A e C
f) 21 \% dos clientes compram o produto B e C
g) 6 \% dos clientes compram o produto A, B e C
Se um cliente é escolhido ao acaso, qual a probabilidade de comprar:
a) O produto A;
b) Os produtos A ou B;
c) Somente o produto B;
d) Nem B e nem C;
e) Nenhum dos produtos;
f) Os produtos \mathrm{A} \in \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado fornece os resultados da pesquisa (vou listar exatamente como dados):
P(A)=40\%
P(B)=50\%
P\text{(C)}=40\%
P(A\cap B)=18\%
P(A\cap C)=16\%
P(B\cap C)=21\%
P(A\cap B\cap C)=6\%
As perguntas são (vou numerar como no enunciado que você deu):
a) Qual a probabilidade de comprar o produto A?
b) Qual a probabilidade de comprar os produtos A ou B (isto é, A\cup B)?
c) Qual a probabilidade de comprar somente o produto B (ou seja, B e não A nem C)?
d) Qual a probabilidade de comprar nem B nem C (isto é, B^c\cap C^c)?
e) Qual a probabilidade de não comprar nenhum dos produtos (nenhum de A,B,C)?
f) Qual a probabilidade de comprar os produtos A e C (interpreto o símbolo dado como a interseção A\cap C)?
Pronto: temos os dados e as perguntas. Agora vamos resolver passo a passo, explicando as fórmulas quando usadas.

Passo 2

(a) Pedem P(A). Isso está diretamente entre os dados:
P(A)=40\%.
Explicação curta: quando a probabilidade do evento está dada, não há cálculo adicional — usamos o valor informado.

Passo 3

(b) Queremos P(A\cup B), a probabilidade de comprar A ou B (ou ambos). A fórmula básica de união para dois eventos é a regra da adição com correção para a interseção:
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Por que essa fórmula? Porque somar P(A) e P(B) conta duas vezes quem compra tanto A quanto B, então subtraímos P(A\cap B) para corrigir.
Aplicando os números dados:
P(A\cup B)=40\%+50\%-18\%=90\%-18\%=72\%.

Passo 4

(c) Queremos a probabilidade de "somente B" — isto é, comprar B e não comprar nem A nem C. Em símbolos, isso é P(B\setminus (A\cup C)) ou P(B\cap A^c\cap C^c). Uma maneira prática de calcular é começar com P(B) e subtrair todas as probabilidades de quem também compra A ou C, cuidando de não remover duas vezes quem compra os três. A fórmula resulta em:
P(\text{somente }B)=P(B)-P(B\cap A)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C).
Aqui adicionamos P(A\cap B\cap C) no final porque quem compra os três foi subtraído duas vezes (uma em P(B\cap A) e outra em P(B\cap C)).
Substituindo os valores:
P(\text{somente }B)=50\%-18\%-21\%+6\%=50\%-39\%+6\%=11\%+6\%=17\%.

Passo 5

(d) Queremos a probabilidade de "nem B nem C", ou seja P(B^c\cap C^c). Isso é o complementar da união B\cup C. Então
P(B^c\cap C^c)=1-P(B\cup C).
Usamos a fórmula da união para B e C:
P(B\cup C)=P(B)+P\text{(C)}-P(B\cap C).
Calculando:
P(B\cup C)=50\%+40\%-21\%=90\%-21\%=69\%.
Portanto
P(B^c\cap C^c)=100\%-69\%=31\%.

Passo 6

(e) Queremos a probabilidade de não comprar nenhum dos produtos A,B,C; isto é o complementar da união de três eventos A\cup B\cup C. Precisamos primeiro achar P(A\cup B\cup C). A fórmula de inclusão-exclusão para três eventos é:
P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P\text{(C)}-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C).
Explicação rápida: somamos as probabilidades individuais, subtraímos as interseções de pares (porque foram contadas duas vezes), mas isso subtraiu quem está nas três interseções três vezes, então acrescentamos uma vez P(A\cap B\cap C).
Substituindo os dados:
P(A\cup B\cup C)=40\%+50\%+40\%-18\%-16\%-21\%+6\%.
Calcule passo a passo: 40+50+40=130\%. Soma das interseções de pares 18+16+21=55\%. Então
P(A\cup B\cup C)=130\%-55\%+6\%=75\%+6\%=81\%.
Logo a probabilidade de não comprar nenhum é o complementar:
P(\text{nenhum})=100\%-81\%=19\%.

Passo 7

(f) Interpreto o item dado como a probabilidade de comprar A e C simultaneamente, ou seja P(A\cap C). Esse valor também foi fornecido entre os dados iniciais:
P(A\cap C)=16\%.
Observação: esse valor inclui tanto quem compra só A e C quanto quem compra os três produtos; se você quisesse “somente A e C (mas não B)” usaríamos P(A\cap C)-P(A\cap B\cap C)=16\%-6\%=10\%. Aqui o enunciado pediu a interseção, então a resposta é 16\%.

Resposta

a) 40\%
b) 72\%
c) 17\%
d) 31\%
e) 19\%
f) 16\%

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