Considere dois eventos simultâneos em S : Evento A em
e Evento B em
. Mostre que em S’ (movendo-se a
na direção
), os eventos não são simultâneos, calculando
e interpretando o resultado.
Passo 1
O enunciado dá dois eventos simultâneos no referencial
:
- Evento
: . - Evento
: .
O referencial
move-se em relação a
com velocidade
na direção
(isto é, velocidade relativa
positiva ao longo de
).
O que se pede: calcular (a diferença de tempo entre os dois eventos em
) e interpretar o resultado (ou seja, se em
os eventos permanecem simultâneos ou não, qual a ordem temporal, etc.).
O que se pede: calcular
Passo 2
Vamos usar a transformação de tempo entre referenciais em movimento relativo (a transformação de Lorentz para a coordenada temporal). A fórmula que relaciona as coordenadas
em
com
em
é, para o tempo,
onde:
-
é o fator de Lorentz definido por . -
é a velocidade da luz no vácuo (constante). -
é a velocidade de relativa a (tomada positiva na direção ).
Essa fórmula dá o instante(no referencial ) correspondente a um evento que em ocorre em . Vou explicar cada termo: corrige efeitos relativísticos quando é comparável a ; o termo mostra que a posição afeta o tempo medido em — é aí que aparece a “não simultaneidade”.
Passo 3
Calcule
aplicando a fórmula ao evento
com
e
:
Portanto, no referencial
o evento
ocorre em
.
Passo 4
Calcule
aplicando a fórmula ao evento
com
e
:
Mostrei passo a passo: substituí
e
dentro da expressão de
e simplifiquei.
Passo 5
Agora obtenha a diferença de tempos em
:
Isso já responde o pedido de cálculo: a diferença é não nula (salvo nos casos triviais
ou
), logo os eventos não são simultâneos em
.
Passo 6
Interpretação do sinal e do valor:
- Se
e , então . Isso significa que, em , o evento ocorre antes do evento . - Se
e , então , ou seja, em ocorre depois de .
Portanto a ordem temporal de dois eventos espacialmente separados () depende do referencial: simultaneidade é relativa.
Passo 7
Estimativa e limite não relativístico: para velocidades pequenas comparadas a
temos
, então
Isso mostra que o efeito costuma ser muito pequeno a menos que
seja grande ou
seja comparável a
. Por exemplo, se
é de uma unidade de tempo-luz (isto é,
), então
, um deslocamento de ordem
segundos.
Passo 8
Por que isso não viola causalidade? Calcule o intervalo de espaço-tempo entre os eventos em
:
Como
, os eventos são separados espacialmente (separação “espacial” ou “space-like”); isso significa que não existe sinal físico que possa ligar causalmente um evento ao outro (nenhum sinal pode viajar mais rápido que
). Para separações espaço-like a ordem temporal pode variar entre referenciais — exatamente o que vemos aqui — e isso não permite transmissão causal mais rápida que
.
Resposta
Os eventos não são simultâneos em