Considere dois eventos simultâneos em S : Evento A em (x=0, t=0) e Evento B em (x=L, t=0). Mostre que em S’ (movendo-se a v na direção x ), os eventos não são simultâneos, calculando \Delta t^{\prime} e interpretando o resultado.

Passo 1

O enunciado dá dois eventos simultâneos no referencial S:
  • Evento A: (x=0,\; t=0).
  • Evento B: (x=L,\; t=0).
O referencial S' move-se em relação a S com velocidade v na direção x (isto é, velocidade relativa v positiva ao longo de +x).
O que se pede: calcular \Delta t' = t'_B - t'_A (a diferença de tempo entre os dois eventos em S') e interpretar o resultado (ou seja, se em S' os eventos permanecem simultâneos ou não, qual a ordem temporal, etc.).

Passo 2

Vamos usar a transformação de tempo entre referenciais em movimento relativo (a transformação de Lorentz para a coordenada temporal). A fórmula que relaciona as coordenadas (x,t) em S com (x',t') em S' é, para o tempo,
t'=\gamma\!\left(t-\frac{v\,x}{c^2}\right),
onde:
  • \gamma é o fator de Lorentz definido por \displaystyle \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}.
  • c é a velocidade da luz no vácuo (constante).
  • v é a velocidade de S' relativa a S (tomada positiva na direção +x).
    Essa fórmula dá o instante t' (no referencial S') correspondente a um evento que em S ocorre em (x,t). Vou explicar cada termo: \gamma corrige efeitos relativísticos quando v é comparável a c; o termo -v x / c^2 mostra que a posição x afeta o tempo medido em S' — é aí que aparece a “não simultaneidade”.

Passo 3

Calcule t'_A aplicando a fórmula ao evento A com x=0 e t=0:
t'_A=\gamma\!\left(0-\frac{v\cdot 0}{c^2}\right)=\gamma\cdot 0 = 0.
Portanto, no referencial S' o evento A ocorre em t'_A=0.

Passo 4

Calcule t'_B aplicando a fórmula ao evento B com x=L e t=0:
t'_B=\gamma\!\left(0-\frac{v\cdot L}{c^2}\right)=-\gamma\,\frac{v\,L}{c^2}.
Mostrei passo a passo: substituí t=0 e x=L dentro da expressão de t' e simplifiquei.

Passo 5

Agora obtenha a diferença de tempos em S':
\Delta t' = t'_B - t'_A = -\gamma\,\frac{v\,L}{c^2} - 0 = -\gamma\,\frac{v\,L}{c^2}.
Isso já responde o pedido de cálculo: a diferença é não nula (salvo nos casos triviais v=0 ou L=0), logo os eventos não são simultâneos em S'.

Passo 6

Interpretação do sinal e do valor:
  • Se \;v>0 e \;L>0, então \Delta t'<0. Isso significa que, em S', o evento B ocorre antes do evento A.
  • Se \;v<0 e \;L>0, então \Delta t'>0, ou seja, em S' B ocorre depois de A.
    Portanto a ordem temporal de dois eventos espacialmente separados ( L\neq 0) depende do referencial: simultaneidade é relativa.

Passo 7

Estimativa e limite não relativístico: para velocidades pequenas comparadas a c temos \gamma\approx 1, então
\Delta t' \approx -\frac{v\,L}{c^2}.
Isso mostra que o efeito costuma ser muito pequeno a menos que L seja grande ou v seja comparável a c. Por exemplo, se L é de uma unidade de tempo-luz (isto é, L=c\cdot 1\\ \text{s}), então \Delta t' \approx -\gamma\,(v/c)\cdot 1\\ \text{s}, um deslocamento de ordem v/c segundos.

Passo 8

Por que isso não viola causalidade? Calcule o intervalo de espaço-tempo entre os eventos em S:
\Delta s^2 = c^2\Delta t^2 - \Delta x^2 = c^2\cdot 0^2 - L^2 = -L^2 < 0.
Como \Delta s^2<0, os eventos são separados espacialmente (separação “espacial” ou “space-like”); isso significa que não existe sinal físico que possa ligar causalmente um evento ao outro (nenhum sinal pode viajar mais rápido que c). Para separações espaço-like a ordem temporal pode variar entre referenciais — exatamente o que vemos aqui — e isso não permite transmissão causal mais rápida que c.

Resposta

\displaystyle \Delta t'=-\gamma\,\frac{v\,L}{c^2}.
Os eventos não são simultâneos em S'; para v>0 e L>0 o evento B ocorre antes de A (a ordem temporal depende do referencial porque os eventos têm separação espaço-like).

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