Considere dois filamentos de carga infinitos, paralelos e retilíneos, separados por uma distância 2 a. Um conta com densidade de cargas linear constante de lambda[C cdot m^-1], e o outro com densidade de mesmo módulo e sinal oposto.
(a) Escolha uma referência conveniente e calcule o potencial elétrico devido às duas linhas de carga.
Resposta:
V=lambda2 varepsilon0 ln [raizz^2+(x-a)^2z^2+(x+a)^2]
onde x, y e z são as coordenadas do ponto considerado num sistema cartesiano centrado no ponto médio entre os filamentos de carga e cujo eixo das abscissas é perpedicular aos filamentos e está contido no plano entre eles, e o eixo das ordenadas é paralelo aos filamentos. A referência de potencial é a origem deste sistema de coordenadas.
(b) Mostre que o plano perpendicular aos filamentos e equidistante de ambos é uma superfície equipotencial.
Resposta: aplicando x=0 em (12), tem-se V=0 para todo y.

Passo 1

O enunciado pede o potencial elétrico de duas linhas de carga infinitas e paralelas, separadas por 2a, com densidades lineares lambda e -lambda. Vamos usar o princípio da superposição e a expressão conhecida do potencial de uma linha infinita de carga.

Passo 2

O potencial de uma única linha infinita de carga linear lambdai a uma distância ri é dado por
Vi(ri)=lambdai2varepsilon0lngl(rir0gr),,
onde r0 é a distância em que escolhemos a referência de potencial (aqui vamos tomar V=0 na origem, de modo que r0=a para ambas as linhas).

Passo 3

No sistema de coordenadas centrado no ponto médio, as distâncias do ponto (x,y,z) às linhas em x=+a e em x=-a são
r1=raiz(x-a)^2+z^2 e r2=raiz(x+a)^2+z^2,
A linha em x=+a tem densidade +lambda e a de x=-a tem densidade -lambda. Assim,
V1=lambda2varepsilon0lngl(r1agr), V2=-lambda2varepsilon0lngl(r2agr)

Passo 4

Pela superposição,
V=V1+V2 =lambda2varepsilon0l[ln(r1)-ln(r2)r] =lambda2varepsilon0ln!l(r1r2r)
Escrevendo em termos de x e z e usando ln(r1/r2)=lnraiz(r1^2)/(r2^2), obtemos
V(x,y,z) =lambda2varepsilon0 ln!gl[raizz^2+(x-a)^2z^2+(x+a)^2gr]

Passo 5

Para mostrar que o plano x=0 é equipotencial, basta avaliar V em x=0:
V(0,y,z) =lambda2varepsilon0 ln!gl[raizz^2+(-a)^2z^2+(+a)^2gr] =lambda2varepsilon0ln(1) =0,
ou seja, V é constante (zero) em todo o plano x=0.

Resposta

(a) V(x,y,z) =lambda2varepsilon0 ln!gl[raizz^2+(x-a)^2z^2+(x+a)^2gr]
(b) No plano x=0 temos V=0 para todo y,z, logo esse plano é equipotencial.

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