Defina um potencial magnético entre os pontos A e B como a integral de linha
VA B^m=integrala^b H cdot d l
Explique qual é a inconsistência desta definição.
Resposta: tomando V^m num caminho fechado temos, pela Lei de Ampère, que o resultado pode não ser nulo. Isso significa que V^m não é conservativo se existirem correntes no domínio sob análise, fato essencial à existência de campo magnético, o que impede a definição de uma função potencial escalar magnético.

Passo 1

O enunciado tenta definir um “potencial magnético escalar” entre dois pontos A e B pelo integral de linha
VAB^m=integralA^Bvec Hcdot dvec l
O conteúdo é magnetostática e a ideia implícita é tratar vec H como um campo conservativo, isto é, derivado de um potencial escalar.

Passo 2

Num campo conservativo, a integral de linha entre dois pontos não depende do caminho escolhido e, em particular, o integral em qualquer laço fechado deve ser zero:
ointvec Hcdot dvec l=0

Passo 3

Porém, pela Lei de Ampère na forma integral, para qualquer laço fechado C que envolva correntes elétricas,
oint Cvec Hcdot dvec l = Irm encneq 0
se houver corrente Irm enc atravessando a superfície delimitada por C. Logo
VAA^m=ointvec Hcdot dvec l = Irm encneq0,
o que contradiz a condição de conservatividade.

Passo 4

Como vecnablatimesvec H=vec J não se anula em regiões com correntes ( vec Jneqvec0), vec H não é um campo gradiente global. A dependência de caminho impede a existência de um único potencial escalar V^m que satisfaça vec H=-vecnabla V^m em todo o domínio.

Resposta

A definição é inconsistente porque, num domínio com correntes,
ointvec Hcdot dvec lneq 0
pela Lei de Ampère, o que mostra que vec H não é conservativo e, portanto, não admite potencial escalar global.

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