Considere dois fios retilíneos, muito compridos, dispostos paralelamente, separados por uma distância d um do outro, conduzindo correntes elétricas de intensidade constante ao longo do tempo i_{1} e i_{2}. Para que condições, haverá atração e repulsão, respectivamente entre os fios?
a) Atração para as correntes no mesmo sentido e repulsão para as correntes em sentidos opostos.
b) Atração para correntes em sentidos opostos e repulsão para as correntes no mesmo sentido
c) As forças serão sempre atrativas, não importa a orientação da corrente.
d) Não há força magnética entre os fios, pois a velocidade das cargas é perpendicular ao campo magnético.

Passo 1

O enunciado dá dois fios retilíneos, muito compros, paralelos, separados por uma distância d, conduzindo correntes elétricas constantes i_{1} e i_{2}. Pergunta: para que condições haverá atração e para que condições haverá repulsão entre os fios?
Informações relevantes fornecidas:
\,i_{1} — intensidade da corrente no fio 1;
\,i_{2} — intensidade da corrente no fio 2;
\,d — distância entre os fios;
os fios são muito compridos (aproximação de fio infinito) e paralelos.

Passo 2

A primeira peça de teoria que precisamos: campo magnético produzido por um fio retilíneo longo e retilíneo. Para um fio longo (aproximação de fio infinito) que conduz corrente i, o módulo do campo magnético a uma distância r do fio é dado por
B(r)=\frac{\mu_{0}\,i}{2\pi r},
onde \mu_{0} é a permeabilidade magnética do vácuo ( \mu_{0}\approx 4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{T\cdot m/A}).
Expliquei essa fórmula: ela vem da Lei de Ampère aplicada a um circuito circular ao redor do fio. Aqui \,i é a corrente que produz o campo e r é a distância até o ponto onde avaliamos o campo.

Passo 3

Agora a segunda peça: força magnética sobre um fio com corrente quando ele está imerso em um campo magnético externo. Para um trecho de fio de comprimento L cujo vetor comprimento (direção do fio e do sentido da corrente) é \mathbf{L} e que está em um campo magnético \mathbf{B}, a força magnética é
\mathbf{F}=i\,\mathbf{L}\times\mathbf{B}.
Aqui i é a corrente nesse fio, \mathbf{L} tem magnitude L e direção do fluxo de corrente, e \times é o produto vetorial (que define direção pela regra da mão direita). Para fios paralelos, o ângulo entre \mathbf{L} e \mathbf{B} será 90^\circ na disposição típica, então o módulo da força por unidade de comprimento é
\frac{F}{L}=i\,B.

Passo 4

Aplicando ao nosso problema: o campo produzido pelo fio 1 no local do fio 2 (distância d) tem módulo
B_{1}=\frac{\mu_{0}\,i_{1}}{2\pi d}.
A força por unidade de comprimento sobre o fio 2, devido a esse campo, tem módulo
\frac{F}{L}=i_{2}\,B_{1}=i_{2}\,\frac{\mu_{0}\,i_{1}}{2\pi d}=\frac{\mu_{0}\,i_{1}\,i_{2}}{2\pi d}.
Isso nos dá o valor absoluto da força por unidade de comprimento entre os fios. Note que a fórmula é simétrica em i_{1} e i_{2}.

Passo 5

Falta apenas determinar o sentido (atração ou repulsão). Para isso escolhemos um sistema de referência simples e usamos o produto vetorial/regra da mão direita. Colocamos o fio 1 na origem e o fio 2 no ponto x=d (ou seja, o fio 2 está à direita do fio 1). Tomemos o sentido positivo das correntes ao longo do eixo \hat{z} (para cima). No ponto do fio 2 (eixo +x) o campo produzido pelo fio 1 tem direção \hat{y} (isto decorre da regra da mão direita: polegar aponta para o sentido da corrente (+ \hat{z}), os dedos mostram que o campo ao longo do eixo +x aponta em +\hat{y}). Assim
\mathbf{B}_{1}=\frac{\mu_{0}\,i_{1}}{2\pi d}\,\hat{y}.

Passo 6

Agora calculamos a força sobre o fio 2 usando \mathbf{F}/L = i_{2}\,\hat{z}\times\mathbf{B}_{1}, onde \hat{z} é a direção da corrente em 2 (aqui no caso geral consideramos o sentido como \pm\hat{z}). Primeiro caso: correntes no mesmo sentido (ambas para cima), então a direção do comprimento do fio 2 é \hat{z}. Temos
\frac{\mathbf{F}}{L}=i_{2}\,\hat{z}\times\left(\frac{\mu_{0}\,i_{1}}{2\pi d}\,\hat{y}\right) =\frac{\mu_{0}\,i_{1}\,i_{2}}{2\pi d}\,\hat{z}\times\hat{y}.
Usando as relações dos vetores unitários (ou regra da mão direita), \hat{z}\times\hat{y}=-\hat{x}. Então
\frac{\mathbf{F}}{L}=-\frac{\mu_{0}\,i_{1}\,i_{2}}{2\pi d}\,\hat{x},
ou seja, a força sobre o fio 2 aponta para -\hat{x}, ou seja, em direção ao fio 1: é atração.

Passo 7

Segundo caso: correntes em sentidos opostos. Suponha i_{1} para cima ( +\hat{z}) e i_{2} para baixo ( -\hat{z}). Então a direção do comprimento do fio 2 é -\hat{z} e
\frac{\mathbf{F}}{L}=i_{2}\,(-\hat{z})\times\left(\frac{\mu_{0}\,i_{1}}{2\pi d}\,\hat{y}\right) =-\frac{\mu_{0}\,i_{1}\,i_{2}}{2\pi d}\,\hat{z}\times\hat{y} =+\frac{\mu_{0}\,i_{1}\,i_{2}}{2\pi d}\,\hat{x},
que aponta para +\hat{x}, ou seja, para longe do fio 1: é repulsão.

Passo 8

Resumo físico intuitivo rápido (para fixar): quando as correntes têm o mesmo sentido, as linhas de campo em torno dos fios fazem com que cada fio exerça uma força puxando o outro; se as correntes tiverem sentidos opostos, a força é para afastá-los. A expressão escalar para a intensidade da força por unidade de comprimento é
\frac{F}{L}=\frac{\mu_{0}\,i_{1}\,i_{2}}{2\pi d},
sempre positiva no módulo; o sinal/direção vem do produto vetorial e leva aos casos atração/repulsão descritos acima. Força nula ou ausência de interação não ocorre aqui (exceto se i_{1} ou i_{2} for zero).

Resposta

(a) Atração para as correntes no mesmo sentido e repulsão para as correntes em sentidos opostos.

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