Considere dois fios retilíneos muito longos e paralelos, percorridos por correntes estacionárias
e
.
Supondo que as correntes possuem o mesmo sentido, mostre que a força magnética entre os fios é atrativa.
Supondo que as correntes possuem o mesmo sentido, mostre que a força magnética entre os fios é atrativa.
Passo 1
O enunciado dá dois fios retilíneos, muito longos e paralelos, percorridos por correntes estacionárias
e
. As correntes têm o mesmo sentido. A pergunta é: mostrar que a força magnética entre os fios é atrativa.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- Os fios são muito longos (podemos tratar o campo magnético como o do fio longo e usar simetrias cilíndricas).
- As correntes são estacionárias e têm o mesmo sentido (ambas, por exemplo, no sentido
). - Queremos a direção (atrativa) e a expressão da força (ou força por unidade de comprimento) entre os fios.
Passo 2
Vamos obter primeiro o campo magnético criado pelo fio 1 no lugar onde está o fio 2. Para um fio retilíneo infinito com corrente
o campo magnético a uma distância
do fio tem módulo dado pela lei de Ampère simples e é tangencial (circular) ao redor do fio. A lei de Ampère, em forma integral, é:
Aplicando essa lei a um caminho circular de raio
coaxial ao fio (onde
é constante em módulo e tangente):
Logo o módulo do campo magnético é
Aqui
é a permeabilidade do vácuo e
é a distância entre os fios (ou a distância do fio 1 até o ponto onde está o fio 2).
Passo 3
Explicar a direção do campo magnético e a regra da mão direita: para corrente
no sentido
, as linhas de
fecham em torno do fio seguindo a regra da mão direita — polegar apontando para
, os dedos mostram a direção de
. Assim
é um vetor azimutal (circunferencial) em torno do fio 1. Em coordenadas cilíndricas,
.
No ponto onde está o fio 2 (suponha que ele está no eixo
positivo, a uma distância
), o versor
aponta no sentido do eixo
(isto é,
naquele ponto é paralelo a
se a corrente estiver em
). É importante entender isto para determinar a direção da força.
Passo 4
Agora calculamos a força magnética sobre o segundo fio. A força sobre um elemento de fio que transporta corrente
imerso em um campo magnético
é dada por
Para um fio retilíneo longo, somando (integrando) sobre um segmento de comprimento
com corrente no sentido
temos
(onde
é o versor em
). Assim a força total sobre esse segmento é
Passo 5
Substituímos
e
. No ponto do fio 2, escolhendo coordenadas como acima,
(ou seja,
aponta em
). Então
Usando produto vetorial
(isto é,
), obtemos
Portanto a força tem direção
, ou seja, apontando para o fio 1 (que está à esquerda no nosso esquema). Em outras palavras, a força sobre o fio 2 é dirigida para o outro fio — é atrativa.
O módulo da força (sobre o segmento de comprimento
) é
A força por unidade de comprimento (quantidade muito usada) é
Passo 6
Interpretação física e conclusão didática: o sinal negativo no vetor indica que a força sobre o segundo fio é dirigida para o primeiro fio — atração. Isso ocorre porque o campo magnético criado pelo fio 1 circula ao redor dele e, no local do fio 2, esse campo é perpendicular à corrente
e produz uma força perpendicular que a aproxima do fio 1. Pelo princípio da ação e reação (forças magnéticas são mútuas), o fio 1 sofre força de mesmo módulo apontando para o fio 2. Se as correntes tivessem sentidos opostos, o produto vetorial mudaria de sinal e a força seria repulsiva.