Considere dois fios retilíneos muito longos e paralelos, percorridos por correntes estacionárias i_{1} e i_{2}.
Supondo que as correntes possuem o mesmo sentido, mostre que a força magnética entre os fios é atrativa.

Passo 1

O enunciado dá dois fios retilíneos, muito longos e paralelos, percorridos por correntes estacionárias i_{1} e i_{2}. As correntes têm o mesmo sentido. A pergunta é: mostrar que a força magnética entre os fios é atrativa.
Informações relevantes:
  • Os fios são muito longos (podemos tratar o campo magnético como o do fio longo e usar simetrias cilíndricas).
  • As correntes são estacionárias e têm o mesmo sentido (ambas, por exemplo, no sentido +z).
  • Queremos a direção (atrativa) e a expressão da força (ou força por unidade de comprimento) entre os fios.

Passo 2

Vamos obter primeiro o campo magnético criado pelo fio 1 no lugar onde está o fio 2. Para um fio retilíneo infinito com corrente i_{1} o campo magnético a uma distância r do fio tem módulo dado pela lei de Ampère simples e é tangencial (circular) ao redor do fio. A lei de Ampère, em forma integral, é:
\oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell}=\mu_{0} I_{\text{enc}}
Aplicando essa lei a um caminho circular de raio r coaxial ao fio (onde \vec{B} é constante em módulo e tangente):
B(2\pi r)=\mu_{0} i_{1}
Logo o módulo do campo magnético é
B=\frac{\mu_{0} i_{1}}{2\pi r}.
Aqui \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo e r é a distância entre os fios (ou a distância do fio 1 até o ponto onde está o fio 2).

Passo 3

Explicar a direção do campo magnético e a regra da mão direita: para corrente i_{1} no sentido +z, as linhas de \vec{B} fecham em torno do fio seguindo a regra da mão direita — polegar apontando para +z, os dedos mostram a direção de \vec{B}. Assim \vec{B} é um vetor azimutal (circunferencial) em torno do fio 1. Em coordenadas cilíndricas, \vec{B}=B\,\hat{\varphi}.
No ponto onde está o fio 2 (suponha que ele está no eixo x positivo, a uma distância r), o versor \hat{\varphi} aponta no sentido do eixo +y (isto é, \vec{B} naquele ponto é paralelo a +y se a corrente estiver em +z). É importante entender isto para determinar a direção da força.

Passo 4

Agora calculamos a força magnética sobre o segundo fio. A força sobre um elemento de fio que transporta corrente i_{2} imerso em um campo magnético \vec{B} é dada por
d\vec{F}=i_{2}\,d\vec{\ell}\times\vec{B}.
Para um fio retilíneo longo, somando (integrando) sobre um segmento de comprimento L com corrente no sentido +z temos d\vec{\ell}= \vec{L}=L\,\hat{k} (onde \hat{k} é o versor em +z). Assim a força total sobre esse segmento é
\vec{F}=i_{2} \, \vec{L}\times\vec{B}.

Passo 5

Substituímos \vec{B}=B\,\hat{\varphi} e B=\dfrac{\mu_{0} i_{1}}{2\pi r}. No ponto do fio 2, escolhendo coordenadas como acima, \hat{\varphi}=\hat{j} (ou seja, \vec{B} aponta em +y). Então
\vec{F}=i_{2}\,(L\,\hat{k})\times\left(\frac{\mu_{0} i_{1}}{2\pi r}\,\hat{j}\right).
Usando produto vetorial \hat{k}\times\hat{j}=-\hat{i} (isto é, \hat{k}\times\hat{j} = -\hat{i} ), obtemos
\vec{F}=i_{2}L\frac{\mu_{0} i_{1}}{2\pi r}\,(-\hat{i}).
Portanto a força tem direção -\hat{i}, ou seja, apontando para o fio 1 (que está à esquerda no nosso esquema). Em outras palavras, a força sobre o fio 2 é dirigida para o outro fio — é atrativa.
O módulo da força (sobre o segmento de comprimento L) é
F=i_{2}L\frac{\mu_{0} i_{1}}{2\pi r}.
A força por unidade de comprimento (quantidade muito usada) é
\frac{F}{L}=\frac{\mu_{0} i_{1} i_{2}}{2\pi r}.

Passo 6

Interpretação física e conclusão didática: o sinal negativo no vetor indica que a força sobre o segundo fio é dirigida para o primeiro fio — atração. Isso ocorre porque o campo magnético criado pelo fio 1 circula ao redor dele e, no local do fio 2, esse campo é perpendicular à corrente i_{2} e produz uma força perpendicular que a aproxima do fio 1. Pelo princípio da ação e reação (forças magnéticas são mútuas), o fio 1 sofre força de mesmo módulo apontando para o fio 2. Se as correntes tivessem sentidos opostos, o produto vetorial mudaria de sinal e a força seria repulsiva.

Resposta

\displaystyle \frac{F}{L}=\frac{\mu_{0}\,i_{1}\,i_{2}}{2\pi r} (direção: aponta para o outro fio, ou seja, atração quando i_{1} e i_{2} têm o mesmo sentido).

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