Questão 3. ( 2,5 pontos) Um longo fio cilíndrico condutor, com raio R=2,00 \mathrm{~cm}, conduz uma corrente i=3,00 \mathrm{~A} paralela ao eixo central com densidade de corrente uniforme. Utilizando a lei de Ampère, determine a magnitude do campo magnético para
(1,5 ponto) raio r=1,00 \mathrm{~cm};

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos.\n
  • Pede a magnitude do campo magnético no interior de um fio cilíndrico condutor, para o raio r=1{,}00\\ \mathrm{cm}.\n
  • Dados (pego do enunciado):\n
    • Corrente total no fio: I=3{,}00\\ \mathrm{A}.\n
    • Raio do fio: R=2{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}0200\\ \mathrm{m}.\n
    • Ponto onde queremos o campo: r=1{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}0100\\ \mathrm{m} (observe que r<R, estamos dentro do condutor).\n
  • O enunciado pede somente a magnitude do campo magnético para esse r.

Passo 2

Apresentando a lei de Ampère e como ela será aplicada (fórmula e o que cada símbolo significa).\n
A forma integral da lei de Ampère no vácuo é
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{\ell}=\mu_0 I_{\text{enc}},
onde:\n
  • \mathbf{B} é o campo magnético ao longo do caminho fechado escolhido;\n
  • d\mathbf{\ell} é um elemento do caminho de integração;\n
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo, \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A};\n
  • I_{\text{enc}} é a corrente elétrica que atravessa a superfície limitada pelo caminho (corrente “enclausurada”).\n
    Por simetria (fio longo, corrente uniforme e eixo coaxial), escolhemos uma linha amperiana circular de raio r centrada no eixo do fio. Nessa linha o campo tem módulo constante e é tangente à circunferência, então a integral vira
B(2\pi r)=\mu_0 I_{\text{enc}}.
Essa fórmula relaciona o campo magnético B no raio r com a corrente que está dentro desse raio.

Passo 3

Corrente por unidade de área (densidade de corrente) e como obter I_{\text{enc}}.\n
Se a densidade de corrente é uniforme, então a corrente total I está distribuída uniformemente na seção transversal circular de área \pi R^2. Define-se a densidade de corrente superficial (na verdade volumétrica em 2D da seção) como
J=\frac{I}{\pi R^2},
onde J tem unidades \mathrm{A/m^2} e significa “ampères por área da seção”.\n
A corrente que fica dentro da circunferência de raio r (área \pi r^2) é então
I_{\text{enc}}=J\cdot \pi r^2=\frac{I}{\pi R^2}\cdot \pi r^2 = I\frac{r^2}{R^2}.
Esse é o passo chave: dentro do condutor com densidade uniforme, a corrente aumentada com a área proporcional a r^2.

Passo 4

Substituir I_{\text{enc}} na lei de Ampère e isolar B.\n
Substituindo na expressão B(2\pi r)=\mu_0 I_{\text{enc}} obtemos
B(2\pi r)=\mu_0 I\frac{r^2}{R^2}.
Isolando B,
B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\cdot\frac{r^2}{R^2}=\frac{\mu_0 I r}{2\pi R^2}.
Portanto, para r<R o campo cresce linearmente com r; essa é uma propriedade importante: dentro do fio o campo é proporcional à distância ao eixo.

Passo 5

Simplificar a expressão usando \mu_0 e preparar para calcular numericamente.\n
Como \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}, temos
\frac{\mu_0}{2\pi}=\frac{4\pi\times10^{-7}}{2\pi}=2\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}.
Assim a expressão fica
B= \left(2\times10^{-7}\right)\frac{I\,r}{R^2}.

Passo 6

Cálculo numérico passo a passo (sem pular contas).\n
Primeiro calcule R^2:
R^2=(0{,}0200\\ \mathrm{m})^2=4{,}00\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
Agora substituímos I=3{,}00\\ \mathrm{A}, r=0{,}0100\\ \mathrm{m} e R^2=4{,}00\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2} na fórmula
B=2\times10^{-7}\cdot\frac{3{,}00\cdot 0{,}0100}{4{,}00\times10^{-4}}\\ \mathrm{T}.
Calcule o numerador interno:
3{,}00\cdot 0{,}0100 =0{,}0300.
Então
B=2\times10^{-7}\cdot\frac{0{,}0300}{4{,}00\times10^{-4}}.
Dividindo a fração:
\frac{0{,}0300}{4{,}00\times10^{-4}}=\frac{3{,}00\times10^{-2}}{4{,}00\times10^{-4}}=\frac{3{,}00}{4{,}00}\times10^{2}=0{,}75\times10^{2}=75.
(Explicando esse passo: mover a vírgula e usar potências de dez facilita sem calculadora.)\n
Agora
B=2\times10^{-7}\cdot 75 =150\times10^{-7}\\ \mathrm{T}=1{,}50\times10^{-5}\\ \mathrm{T}.
Convertendo para microtesla:
1{,}50\times10^{-5}\\ \mathrm{T}=15{,}0\\ \mu\mathrm{T}.

Passo 7

Comentário final curto e encorajador sobre o resultado.\n
O campo magnético no interior do fio a r=1{,}00\\ \mathrm{cm} é \,1{,}50\times10^{-5}\\ \mathrm{T}. Esse valor é pequeno (da ordem de dezenas de \mu\mathrm{T}), típico para correntes de poucos ampères em fios de centímetros de raio. Bom trabalho — essa técnica (usar Ampère com simetria circular e corrente enclausurada proporcional à área) resolve muitos problemas parecidos na prova!

Resposta

1{,}50\times10^{-5}\\ \mathrm{T}

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