Questão 3. ( 2,5 pontos) Um longo fio cilíndrico condutor, com raio
, conduz uma corrente
paralela ao eixo central com densidade de corrente uniforme. Utilizando a lei de Ampère, determine a magnitude do campo magnético para
(1,5 ponto) raio
;
(1,5 ponto) raio
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos.\n
- Pede a magnitude do campo magnético no interior de um fio cilíndrico condutor, para o raio
.\n - Dados (pego do enunciado):\n
- Corrente total no fio:
.\n - Raio do fio:
.\n - Ponto onde queremos o campo:
(observe que , estamos dentro do condutor).\n
- Corrente total no fio:
- O enunciado pede somente a magnitude do campo magnético para esse
.
Passo 2
Apresentando a lei de Ampère e como ela será aplicada (fórmula e o que cada símbolo significa).\n
A forma integral da lei de Ampère no vácuo é
A forma integral da lei de Ampère no vácuo é
onde:\n
-
é o campo magnético ao longo do caminho fechado escolhido;\n -
é um elemento do caminho de integração;\n -
é a permeabilidade do vácuo, ;\n -
é a corrente elétrica que atravessa a superfície limitada pelo caminho (corrente “enclausurada”).\n
Por simetria (fio longo, corrente uniforme e eixo coaxial), escolhemos uma linha amperiana circular de raiocentrada no eixo do fio. Nessa linha o campo tem módulo constante e é tangente à circunferência, então a integral vira
Essa fórmula relaciona o campo magnético
no raio
com a corrente que está dentro desse raio.
Passo 3
Corrente por unidade de área (densidade de corrente) e como obter
.\n
Se a densidade de corrente é uniforme, então a corrente total está distribuída uniformemente na seção transversal circular de área
. Define-se a densidade de corrente superficial (na verdade volumétrica em 2D da seção) como
Se a densidade de corrente é uniforme, então a corrente total
onde
tem unidades
e significa “ampères por área da seção”.\n
A corrente que fica dentro da circunferência de raio (área
) é então
A corrente que fica dentro da circunferência de raio
Esse é o passo chave: dentro do condutor com densidade uniforme, a corrente aumentada com a área proporcional a
.
Passo 4
Substituir
na lei de Ampère e isolar
.\n
Substituindo na expressão obtemos
Substituindo na expressão
Isolando
,
Portanto, para
o campo cresce linearmente com
; essa é uma propriedade importante: dentro do fio o campo é proporcional à distância ao eixo.
Passo 5
Simplificar a expressão usando
e preparar para calcular numericamente.\n
Como , temos
Como
Assim a expressão fica
Passo 6
Cálculo numérico passo a passo (sem pular contas).\n
Primeiro calcule :
Primeiro calcule
Agora substituímos
,
e
na fórmula
Calcule o numerador interno:
Então
Dividindo a fração:
(Explicando esse passo: mover a vírgula e usar potências de dez facilita sem calculadora.)\n
Agora
Agora
Convertendo para microtesla:
Passo 7
Comentário final curto e encorajador sobre o resultado.\n
O campo magnético no interior do fio a é
. Esse valor é pequeno (da ordem de dezenas de
), típico para correntes de poucos ampères em fios de centímetros de raio. Bom trabalho — essa técnica (usar Ampère com simetria circular e corrente enclausurada proporcional à área) resolve muitos problemas parecidos na prova!
O campo magnético no interior do fio a