Questão 3. ( 2,5 pontos) Um longo fio cilíndrico condutor, com raio R=2,00 \mathrm{~cm}, conduz uma corrente i=3,00 \mathrm{~A} paralela ao eixo central com densidade de corrente uniforme. Utilizando a lei de Ampère, determine a magnitude do campo magnético para
(1,0 ponto) raio r=3,00 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara.
  • Raio do fio: R=2{,}00\\ \mathrm{cm}.
  • Corrente que atravessa o fio: i=3{,}00\\ \mathrm{A}.
  • Densidade de corrente é uniforme (ou seja, a corrente está distribuída uniformemente na seção do fio).
  • Pedem: determinar a magnitude do campo magnético no ponto a uma distância r=3{,}00\\ \mathrm{cm} do eixo do fio.
Observação importante do enunciado: r=3{,}00\\ \mathrm{cm} é maior que R=2{,}00\\ \mathrm{cm}, então o ponto está fora do fio (na região externa).

Passo 2

Apresentar a lei de Ampère e o raciocínio físico usado.
A lei de Ampère (versão integral para magnetostática no vácuo) diz que a circulação do campo magnético ao longo de um caminho fechado é igual a \mu_0 vezes a corrente elétrica total envolvida por esse caminho:
\oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell}=\mu_0 I_{\text{enc}}.
Aqui:
  • \vec{B} é o campo magnético;
  • d\vec{\ell} é um elemento de comprimento ao longo do caminho fechado;
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo: \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A};
  • I_{\text{enc}} é a corrente total atravessando a área delimitada pelo caminho.

Passo 3

Escolha do caminho de integração (laço ampariano) e uso de simetria.
Por simetria cilíndrica do problema (fio longo e corrente paralela ao eixo), o campo magnético a uma distância fixa r do eixo é tangencial a círculos concentricos e tem mesma magnitude em todos os pontos de um círculo de raio r. Então escolhemos como caminho fechado um círculo de raio r centrado no eixo do fio.
Nessa escolha, \vec{B} é tangente e constante em módulo ao longo do caminho, e \vec{B}\cdot d\vec{\ell}=B\,d\ell. A integral vira:
\oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell}=B\oint d\ell=B(2\pi r).

Passo 4

Determinar a corrente envolvida I_{\text{enc}} para r=3{,}00\\ \mathrm{cm}.
Como r=3{,}00\\ \mathrm{cm}>R=2{,}00\\ \mathrm{cm}, o círculo escolhido envolve todo o condutor. Portanto a corrente encerrada é a corrente total:
I_{\text{enc}}=i=3{,}00\\ \mathrm{A}.

Passo 5

Aplicar a lei de Ampère e isolar B.
Usando a expressão da circulação e I_{\text{enc}}, obtemos:
B(2\pi r)=\mu_0 I_{\text{enc}} \quad\Rightarrow\quad B=\frac{\mu_0 I_{\text{enc}}}{2\pi r}.

Passo 6

Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo.
Colocando \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}, I_{\text{enc}}=3{,}00\\ \mathrm{A} e r=3{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}03\\ \mathrm{m}:
B=\frac{4\pi\times10^{-7}\times 3{,}00}{2\pi\times 0{,}03}.
Simplificando fator \pi:
B=\frac{4\times 3{,}00\times10^{-7}}{2\times 0{,}03} =\frac{12\times10^{-7}}{0{,}06}.
Dividindo:
\frac{12}{0{,}06}=200,
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B=200\times10^{-7}\\ \mathrm{T}=2{,}00\times10^{-5}\\ \mathrm{T}.
Se quiser em microtesla:
2{,}00\times10^{-5}\\ \mathrm{T}=20{,}0\\ \mu\mathrm{T}.

Resposta

\,2{,}00\times10^{-5}\\ \mathrm{T}

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