Questão 3. ( 2,5 pontos) Um longo fio cilíndrico condutor, com raio
, conduz uma corrente
paralela ao eixo central com densidade de corrente uniforme. Utilizando a lei de Ampère, determine a magnitude do campo magnético para
(1,0 ponto) raio
.
(1,0 ponto) raio
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara.
- Raio do fio:
. - Corrente que atravessa o fio:
. - Densidade de corrente é uniforme (ou seja, a corrente está distribuída uniformemente na seção do fio).
- Pedem: determinar a magnitude do campo magnético no ponto a uma distância
do eixo do fio.
Observação importante do enunciado:
é maior que
, então o ponto está fora do fio (na região externa).
Passo 2
Apresentar a lei de Ampère e o raciocínio físico usado.
A lei de Ampère (versão integral para magnetostática no vácuo) diz que a circulação do campo magnético ao longo de um caminho fechado é igual a
vezes a corrente elétrica total envolvida por esse caminho:
Aqui:
-
é o campo magnético; -
é um elemento de comprimento ao longo do caminho fechado; -
é a permeabilidade do vácuo: ; -
é a corrente total atravessando a área delimitada pelo caminho.
Passo 3
Escolha do caminho de integração (laço ampariano) e uso de simetria.
Por simetria cilíndrica do problema (fio longo e corrente paralela ao eixo), o campo magnético a uma distância fixa
do eixo é tangencial a círculos concentricos e tem mesma magnitude em todos os pontos de um círculo de raio
. Então escolhemos como caminho fechado um círculo de raio
centrado no eixo do fio.
Nessa escolha,
é tangente e constante em módulo ao longo do caminho, e
. A integral vira:
Passo 4
Determinar a corrente envolvida
para
.
Como
, o círculo escolhido envolve todo o condutor. Portanto a corrente encerrada é a corrente total:
Passo 5
Aplicar a lei de Ampère e isolar
.
Usando a expressão da circulação e
, obtemos:
Passo 6
Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo.
Colocando
,
e
:
Simplificando fator
:
Dividindo:
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Se quiser em microtesla: