Considere dois geradores suprindo uma carga de 3,5 \mathrm{MW}. O Gerador 1 tem uma frequência à vazio de 63,0 \mathrm{~Hz} e uma inclinação \mathrm{s}_{\mathrm{p}} de 1 \mathrm{MW} / \mathrm{Hz} e o Gerador 2 tem uma frequência à vazio de 61,0 \mathrm{~Hz} e uma inclinação \mathrm{s}_{\mathrm{p}} de 1,0 \mathrm{MW} / \mathrm{Hz}. Determine ( \mathbf{3 , 0} pontos):
a- Qual é a frequência de operação do sistema e qual a potência de cada um dos geradores?
b- Quando a carga aumenta 0,75 \mathrm{MW}, qual é a nova frequência de operação do sistema e qual é a nova potência de cada um dos geradores?
c- Com o sistema operando conforme item b, qual será a frequência de operação do sistema e qual será a potência de cada um dos geradores se a frequência à vazio do Gerador 2 aumentar 0,5 \mathrm{~Hz} ?

Passo 1

Enunciado e dados (o que o problema pede e o que foi dado):
  • O enunciado pede três itens:
    a) Determinar a frequência de operação do sistema e a potência entregue por cada gerador quando a carga é 3,5\\ \mathrm{MW}.
    b) Repetir o item (a) quando a carga aumenta 0,75\\ \mathrm{MW}.
    c) Mantendo a condição do item (b), calcular nova frequência e potências se a frequência à vazio do Gerador 2 aumentar 0,5\\ \mathrm{Hz}.
  • Dados fornecidos:
    • Carga inicial: 3,5\\ \mathrm{MW}.
    • Aumento de carga no item (b): 0,75\\ \mathrm{MW}.
    • Gerador 1:
      • frequência à vazio: f_{01}=63,0\\ \mathrm{Hz},
      • inclinação (slope): s_{1}=1{,}0\\ \mathrm{MW/Hz}.
    • Gerador 2:
      • frequência à vazio: f_{02}=61{,}0\\ \mathrm{Hz},
      • inclinação (slope): s_{2}=1{,}0\\ \mathrm{MW/Hz}.
  • Não há outras informações (por exemplo, perdas). Consideramos que a potência total gerada deve igualar a carga.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática sobre o modelo de droop e como montar as equações).
  • Ideia física simples: cada gerador tem uma «frequência à vazio» f_{0}. Se o sistema opera numa frequência f menor que f_{0}, o gerador entrega potência proporcional à queda (f_{0}-f). A constante de proporcionalidade dada é a inclinação s em \mathrm{MW/Hz}. Assim, para cada gerador:
    P_i = s_i\,(f_{0i}-f).
    Onde:
    • P_i é a potência entregue pelo gerador i (em \mathrm{MW}),
    • s_i é a inclinação do gerador i (em \mathrm{MW/Hz}),
    • f_{0i} é a frequência à vazio do gerador i (em \mathrm{Hz}),
    • f é a frequência de operação comum do sistema (em \mathrm{Hz}).
  • Equilíbrio de potências: a soma das potências geradas deve igualar a carga P_{\text{load}}. Assim:
    P_{\text{load}} = P_1 + P_2 = s_1\,(f_{01}-f) + s_2\,(f_{02}-f).
  • Da equação acima isolamos f. Desenvolvendo:
    P_{\text{load}} = s_1 f_{01} + s_2 f_{02} - (s_1+s_2)\,f.
    Portanto,
    f = \frac{s_1 f_{01} + s_2 f_{02} - P_{\text{load}}}{s_1+s_2}.
    Depois de obter f, voltamos para P_i = s_i\,(f_{0i}-f) para obter P_1 e P_2.

Passo 3

Resolvendo o item (a): carga P_{\text{load}}=3{,}5\\ \mathrm{MW}.
  • Primeiro calculemos o numerador e denominador da fórmula para f:
    s_1 f_{01} + s_2 f_{02} = 1{,}0\cdot 63{,}0 + 1{,}0\cdot 61{,}0 = 63{,}0 + 61{,}0 = 124{,}0.
    O somatório das inclinações é
    s_1+s_2 = 1{,}0 + 1{,}0 = 2{,}0\\ \mathrm{MW/Hz}.
  • Aplicando a fórmula:
    f = \frac{124{,}0 - 3{,}5}{2{,}0} = \frac{120{,}5}{2{,}0} = 60{,}25\\ \mathrm{Hz}.
    (Interpretação: o sistema estabiliza em 60{,}25\\ \mathrm{Hz}.)
  • Agora calculamos as potências individuais usando P_i = s_i\,(f_{0i}-f):
    P_1 = 1{,}0\cdot(63{,}0 - 60{,}25) = 63{,}0 - 60{,}25 = 2{,}75\\ \mathrm{MW}.
P_2 = 1{,}0\cdot(61{,}0 - 60{,}25) = 61{,}0 - 60{,}25 = 0{,}75\\ \mathrm{MW}.
  • Verificação rápida: P_1+P_2 = 2{,}75 + 0{,}75 = 3{,}50\\ \mathrm{MW}, que é a carga dada — consistente.

Passo 4

Resolvendo o item (b): carga aumentada P_{\text{load}} = 3{,}5 + 0{,}75 = 4{,}25\\ \mathrm{MW}.
  • Mantemos s_1 f_{01} + s_2 f_{02} = 124{,}0 e s_1+s_2=2{,}0.
  • Calcule a nova frequência: f = \frac{124{,}0 - 4{,}25}{2{,}0} = \frac{119{,}75}{2{,}0} = 59{,}875\\ \mathrm{Hz}.
  • Potências dos geradores: P_1 = 1{,}0\cdot(63{,}0 - 59{,}875) = 63{,}0 - 59{,}875 = 3{,}125\\ \mathrm{MW}.
P_2 = 1{,}0\cdot(61{,}0 - 59{,}875) = 61{,}0 - 59{,}875 = 1{,}125\\ \mathrm{MW}.
  • Verificação: P_1+P_2 = 3{,}125 + 1{,}125 = 4{,}25\\ \mathrm{MW} — consistente com a carga nova.

Passo 5

Resolvendo o item (c): partir da situação do item (b) ( P_{\text{load}}=4{,}25\\ \mathrm{MW}) e aumentando a frequência à vazio do Gerador 2 em 0{,}5\\ \mathrm{Hz}.
  • Nova frequência à vazio do Gerador 2: f_{02,\text{novo}} = 61{,}0 + 0{,}5 = 61{,}5\\ \mathrm{Hz}.
  • Recalcule s_1 f_{01} + s_2 f_{02,\text{novo}}: s_1 f_{01} + s_2 f_{02,\text{novo}} = 1{,}0\cdot 63{,}0 + 1{,}0\cdot 61{,}5 = 63{,}0 + 61{,}5 = 124{,}5.
  • Ainda s_1+s_2 = 2{,}0 e P_{\text{load}}=4{,}25.
  • Nova frequência de operação: f = \frac{124{,}5 - 4{,}25}{2{,}0} = \frac{120{,}25}{2{,}0} = 60{,}125\\ \mathrm{Hz}.
  • Potências: P_1 = 1{,}0\cdot(63{,}0 - 60{,}125) = 63{,}0 - 60{,}125 = 2{,}875\\ \mathrm{MW}.
P_2 = 1{,}0\cdot(61{,}5 - 60{,}125) = 61{,}5 - 60{,}125 = 1{,}375\\ \mathrm{MW}.
  • Verificação: P_1+P_2 = 2{,}875 + 1{,}375 = 4{,}25\\ \mathrm{MW} — consistente.

Resposta

a) f=60{,}25\\ \mathrm{Hz}; P_1=2{,}75\\ \mathrm{MW}; P_2=0{,}75\\ \mathrm{MW}.
b) f=59{,}875\\ \mathrm{Hz}; P_1=3{,}125\\ \mathrm{MW}; P_2=1{,}125\\ \mathrm{MW}.
c) f=60{,}125\\ \mathrm{Hz}; P_1=2{,}875\\ \mathrm{MW}; P_2=1{,}375\\ \mathrm{MW}.

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