Os custos incrementais de combustível em dólares por megawatt-hora para três unidades geradoras térmicas são dados por ( \mathbf{3 , 0} pontos):
\lambda_{1}=\frac{d f_{1}}{d P_{g 1}}=0,0080 P_{g 1}+8,0, \lambda_{2}=\frac{d f_{2}}{d P_{g 2}}=0,0096 P_{g 2}+6,4 e \lambda_{3}=\frac{d f_{3}}{d P_{g 3}}=0,007 P_{g 3}+5,0
Assuma que as três unidades estão sempre operando e que a demanda a ser atendida é de 1200 MW . Os limites de geração máximo e mínimo em cada unidade são 625 e 100 MW respectivamente.
Determine o custo incremental de combustível de cada uma das três unidades e a divisão de carga entre as unidades.

Passo 1

O enunciado fornece as derivadas dos custos (custos incrementais) das três unidades térmicas e os limites de geração, e pede que eu determine o custo incremental final de cada unidade e como a carga de 1200\\ \text{MW} é dividida entre elas. Dados e perguntas claramente listados:
  • Dados das funções de custo incremental (fornecidos no enunciado): \lambda_{1}=\frac{d f_{1}}{d P_{g1}}=0,0080\,P_{g1}+8,0,
\lambda_{2}=\frac{d f_{2}}{d P_{g2}}=0,0096\,P_{g2}+6,4,
\lambda_{3}=\frac{d f_{3}}{d P_{g3}}=0,007\,P_{g3}+5,0.
  • Limites de geração de cada unidade: 100\\ \text{MW}\le P_{g1},P_{g2},P_{g3}\le 625\\ \text{MW}.
  • Demanda total a ser suprida: P_{g1}+P_{g2}+P_{g3}=1200\\ \text{MW}.
  • O que se pede:
    • Determinar o custo incremental (valor de \lambda ou \lambda_i) de cada unidade na solução ótima.
    • Determinar a divisão de carga, ou seja, os valores de P_{g1},P_{g2},P_{g3}.

Passo 2

Ideia básica (explicação didática do método): para minimizar o custo total, quando não há perdas de transmissão e as unidades têm custo incremental contínuo, a condição de otimalidade (sem limites ativos) é que todas as unidades que possam variar tenham o mesmo custo incremental marginal \lambda. Em linguagem prática: igualamos \lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=\lambda e resolvemos as potências geradas de cada uma em função de \lambda; depois ajustamos \lambda para que a soma das potências dê a demanda. Porém, se alguma unidade atinge seu limite (mínimo ou máximo), essa igualdade não é válida para ela — então fixamos a geração nessa unidade no limite e redistribuímos entre as demais, igualando apenas os \lambda das unidades livres. Vou aplicar isso passo a passo.
Primeiro, assumir que nenhuma unidade está saturada (todas livres) e igualar os \lambda:
0,0080\,P_{g1}+8,0=\lambda,\quad 0,0096\,P_{g2}+6,4=\lambda,\quad 0,007\,P_{g3}+5,0=\lambda.
Isolando P_{gi} em função de \lambda:
P_{g1}=\frac{\lambda-8,0}{0,0080}=125(\lambda-8,0)=125\lambda-1000,
P_{g2}=\frac{\lambda-6,4}{0,0096}=\frac{625}{6}(\lambda-6,4)=\frac{625}{6}\lambda-\frac{2000}{3},
P_{g3}=\frac{\lambda-5,0}{0,007}=\frac{1000}{7}(\lambda-5,0)=\frac{1000}{7}\lambda-\frac{5000}{7}.
Agora imponho a soma igual à demanda:
P_{g1}+P_{g2}+P_{g3}=125\lambda-1000+\frac{625}{6}\lambda-\frac{2000}{3}+\frac{1000}{7}\lambda-\frac{5000}{7}=1200.
Somando os coeficientes de \lambda com denominador comum 42:
\left(\frac{5250+4375+6000}{42}\right)\lambda-\frac{100000}{42}=1200,
ou seja
\frac{15625}{42}\lambda-\frac{100000}{42}=1200.
Multiplicando por 42 e isolando \lambda:
15625\lambda-100000=50400\quad\Rightarrow\quad 15625\lambda=150400,
\lambda=\frac{150400}{15625}=\frac{6016}{625}=9,6256\\ \text{\$/MWh}.
Com esse \lambda eu calculei as potências:
P_{g1}=125\cdot 9,6256-1000=203,2\\ \text{MW},
P_{g2}=\frac{625}{6}\cdot 9,6256-\frac{2000}{3}=336,0\\ \text{MW},
P_{g3}=1200-(203,2+336,0)=660,8\\ \text{MW}.
Verificação de limites: note que P_{g3}=660,8\\ \text{MW}>\!625\\ \text{MW}, logo a solução com as três unidades livres viola o limite máximo da unidade 3. Portanto a hipótese inicial (todas livres) é inválida: a unidade 3 está saturada no máximo. Vou agora tratar essa restrição.

Passo 3

Tratamento da restrição de limite máximo na unidade 3 (explicação didática): quando uma unidade atinge o máximo, ela não pode aumentar mais; portanto ela fica com P_{g3}=P_{g3}^{\max} e sua \lambda_{3} será dada por \lambda_{3}=0,007\cdot P_{g3}^{\max}+5,0 — mas essa \lambda_{3} não precisa ser igual à \lambda do sistema. As unidades restantes (aqui 1 e 2) continuam livres e, para a distribuição ótima entre elas, devemos igualar seus \lambda: \lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda. A soma das gerações livres deve suprir a demanda remanescente.
Fixar P_{g3}=625\\ \text{MW}. Demanda restante para unidades 1 e 2:
P_{g1}+P_{g2}=1200-625=575\\ \text{MW}.
Igualando \lambda_{1} e \lambda_{2}:
0,0080\,P_{g1}+8,0=0,0096\,P_{g2}+6,4.
Isolar P_{g2} em função de P_{g1} (passo algébrico simples): subtrair 6,4 e dividir por 0,0096:
0,0096\,P_{g2}=0,0080\,P_{g1}+1,6 \quad\Rightarrow\quad P_{g2}=\frac{0,0080}{0,0096}P_{g1}+\frac{1,6}{0,0096}.
Calcular as constantes: \dfrac{0,0080}{0,0096}=\dfrac{5}{6} e \dfrac{1,6}{0,0096}=\dfrac{500}{3}. Logo
P_{g2}=\frac{5}{6}P_{g1}+\frac{500}{3}.
Impor agora P_{g1}+P_{g2}=575:
P_{g1}+\left(\frac{5}{6}P_{g1}+\frac{500}{3}\right)=575.
Somando coeficientes:
\frac{11}{6}P_{g1}+\frac{500}{3}=575.
Isolando P_{g1}:
\frac{11}{6}P_{g1}=575-\frac{500}{3}=\frac{1725-500}{3}=\frac{1225}{3},
P_{g1}=\frac{1225}{3}\cdot\frac{6}{11}=\frac{2450}{11}\\ \text{MW}\approx 222,7272727\\ \text{MW}.
Então
P_{g2}=575-P_{g1}=575-\frac{2450}{11}=\frac{6325-2450}{11}=\frac{3875}{11}\\ \text{MW}\approx 352,2727273\\ \text{MW}.
Verificação de limites: ambos P_{g1} e P_{g2} estão entre 100 e 625\\ \text{MW}, portanto válidos.

Passo 4

Cálculo final dos custos incrementais:
  • Para as unidades 1 e 2, que ficaram livres e têm \lambda comum, calculamos \lambda usando qualquer uma das expressões:
\lambda=0,0080\,P_{g1}+8,0=0,0080\cdot\frac{2450}{11}+8,0=\frac{19,6}{11}+8,0=\frac{107,6}{11}\approx 9,781818\\ \text{\$/MWh}.
  • Para a unidade 3, que está no máximo P_{g3}=625\\ \text{MW}, o custo incremental dessa unidade é
\lambda_{3}=0,007\cdot 625+5,0=4,375+5,0=9,375\\ \text{\$/MWh}.
Observação didática: é típico numa solução com limite ativo que a unidade no máximo apresente custo incremental menor que o \lambda do sistema — isso significa que a unidade é relativamente barata, por isso foi colocada no máximo; a desigualdade de \lambda entre unidade saturada e \lambda do sistema é esperada.
Também verifico que P_{g1}+P_{g2}+P_{g3}=\dfrac{2450}{11}+\dfrac{3875}{11}+625=1200\\ \text{MW}, conforme exigido.

Resposta

\lambda_{1}=\lambda_{2}=9,781818\\ \text{\$/MWh},\\ \lambda_{3}=9,375\\ \text{\$/MWh}
P_{g1}=\dfrac{2450}{11}\\ \text{MW}\approx 222,727\\ \text{MW},\\ P_{g2}=\dfrac{3875}{11}\\ \text{MW}\approx 352,273\\ \text{MW},\\ P_{g3}=625\\ \text{MW}

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