Os custos incrementais de combustível em dólares por megawatt-hora para três unidades geradoras térmicas são dados por (
pontos):
Assuma que as três unidades estão sempre operando e que a demanda a ser atendida é de 1200 MW . Os limites de geração máximo e mínimo em cada unidade são 625 e 100 MW respectivamente.
Determine o custo incremental de combustível de cada uma das três unidades e a divisão de carga entre as unidades.
Determine o custo incremental de combustível de cada uma das três unidades e a divisão de carga entre as unidades.
Passo 1
O enunciado fornece as derivadas dos custos (custos incrementais) das três unidades térmicas e os limites de geração, e pede que eu determine o custo incremental final de cada unidade e como a carga de
é dividida entre elas. Dados e perguntas claramente listados:
- Dados das funções de custo incremental (fornecidos no enunciado):
- Limites de geração de cada unidade:
- Demanda total a ser suprida:
- O que se pede:
- Determinar o custo incremental (valor de
ou ) de cada unidade na solução ótima. - Determinar a divisão de carga, ou seja, os valores de
.
- Determinar o custo incremental (valor de
Passo 2
Ideia básica (explicação didática do método): para minimizar o custo total, quando não há perdas de transmissão e as unidades têm custo incremental contínuo, a condição de otimalidade (sem limites ativos) é que todas as unidades que possam variar tenham o mesmo custo incremental marginal
. Em linguagem prática: igualamos
e resolvemos as potências geradas de cada uma em função de
; depois ajustamos
para que a soma das potências dê a demanda. Porém, se alguma unidade atinge seu limite (mínimo ou máximo), essa igualdade não é válida para ela — então fixamos a geração nessa unidade no limite e redistribuímos entre as demais, igualando apenas os
das unidades livres. Vou aplicar isso passo a passo.
Primeiro, assumir que nenhuma unidade está saturada (todas livres) e igualar os
:
Isolando
em função de
:
Agora imponho a soma igual à demanda:
Somando os coeficientes de
com denominador comum
:
ou seja
Multiplicando por
e isolando
:
Com esse
eu calculei as potências:
Verificação de limites: note que
, logo a solução com as três unidades livres viola o limite máximo da unidade 3. Portanto a hipótese inicial (todas livres) é inválida: a unidade 3 está saturada no máximo. Vou agora tratar essa restrição.
Passo 3
Tratamento da restrição de limite máximo na unidade 3 (explicação didática): quando uma unidade atinge o máximo, ela não pode aumentar mais; portanto ela fica com
e sua
será dada por
— mas essa
não precisa ser igual à
do sistema. As unidades restantes (aqui 1 e 2) continuam livres e, para a distribuição ótima entre elas, devemos igualar seus
:
. A soma das gerações livres deve suprir a demanda remanescente.
Fixar
. Demanda restante para unidades 1 e 2:
Igualando
e
:
Isolar
em função de
(passo algébrico simples): subtrair
e dividir por
:
Calcular as constantes:
e
. Logo
Impor agora
:
Somando coeficientes:
Isolando
:
Então
Verificação de limites: ambos
e
estão entre
e
, portanto válidos.
Passo 4
Cálculo final dos custos incrementais:
- Para as unidades 1 e 2, que ficaram livres e têm
comum, calculamos usando qualquer uma das expressões:
- Para a unidade 3, que está no máximo
, o custo incremental dessa unidade é
Observação didática: é típico numa solução com limite ativo que a unidade no máximo apresente custo incremental menor que o
do sistema — isso significa que a unidade é relativamente barata, por isso foi colocada no máximo; a desigualdade de
entre unidade saturada e
do sistema é esperada.
Também verifico que
, conforme exigido.