Considere dois lançamentos consecutivos de um dado que suporemos equilibrado. Sejam X : número de vezes em que é obtida a face 1, x=0,1,2 . Y : número de vezes em que é obtida a face 6, y=0,1,2. Z : número de vezes em que aparece ou uma face 1 ou uma face 6, z=0,1,2. Determine: \operatorname{Var}(X), \operatorname{Var}(Y) e \operatorname{Var}(Z). É verdade que \operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y) ?

Passo 1

O enunciado: dois lançamentos consecutivos de um dado equilibrado. As variáveis aleatórias são:
  • X: número de vezes que sai a face 1 nos dois lançamentos, com x\in\{0,1,2\}.
  • Y: número de vezes que sai a face 6 nos dois lançamentos, com y\in\{0,1,2\}.
  • Z: número de vezes que aparece ou uma face 1 ou uma face 6 nos dois lançamentos, com z\in\{0,1,2\}.
O que se pede:
  1. Determinar \operatorname{Var}(X).
  2. Determinar \operatorname{Var}(Y).
  3. Determinar \operatorname{Var}(Z).
  4. Verificar se \operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y) é verdade.
Informações relevantes dadas:
  • Dado equilibrado: em cada lançamento, P(\text{face }1)=\tfrac{1}{6}, P(\text{face }6)=\tfrac{1}{6}, P(\text{nem 1 nem 6})=\tfrac{4}{6}.
  • Os dois lançamentos são consecutivos e independentes entre si.

Passo 2

Escolha do método (sem complicar): modelar cada contagem como soma de variáveis indicadoras (Bernoulli) por lançamento. Essa é a forma mais direta e didática para esse problema pequeno.
Explicação do raciocínio:
  • Em cada lançamento podemos definir indicadores (variáveis que valem 1 se o evento ocorre naquele lançamento, 0 caso contrário). Somando os indicadores dos dois lançamentos obtemos a contagem total.
  • Soma de indicadores independentes com mesma probabilidade dá uma distribuição binomial. Aqui temos no máximo 2 ensaios (dois lançamentos), portanto cada variável é binomial com n=2 e probabilidade apropriada p.
    Vou agora ensinar as fórmulas básicas que usarei.

Passo 3

Fórmulas importantes (com explicação):
  • Bernoulli: se I é uma variável indicadora com P(I=1)=p e P(I=0)=1-p, então \mathbb{E}[I]=p,\qquad \operatorname{Var}(I)=p(1-p).Intuição: a média é a probabilidade de sucesso; a variância mede a dispersão e é p vezes a probabilidade de não ocorrer.
  • Binomial: se S é soma de n indicadores independentes idênticos com probabilidade p (isto é, S\sim\operatorname{Bin}(n,p)), então \mathbb{E}[S]=n p,\qquad \operatorname{Var}(S)=n p(1-p).Raciocínio rápido: soma de variâncias de Bernoulli independentes.
Aplicando ao problema:
  • Para X: a cada lançamento a probabilidade de “1” é p_X=\tfrac{1}{6}. Como há n=2 lançamentos e os indicadores por lançamento são independentes, X\sim\operatorname{Bin}(2,\tfrac{1}{6}).
  • Para Y: mesma lógica, Y\sim\operatorname{Bin}(2,\tfrac{1}{6}).
  • Para Z: em cada lançamento o evento “saí 1 ou 6” tem probabilidade p_Z=\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{6}=\tfrac{2}{6}=\tfrac{1}{3} (são mutuamente exclusivos num mesmo lançamento), então Z\sim\operatorname{Bin}(2,\tfrac{1}{3}).

Passo 4

Cálculo detalhado de \operatorname{Var}(X):
Usamos a fórmula da binomial com n=2 e p=\tfrac{1}{6}:
\operatorname{Var}(X)=n p(1-p)=2\cdot\frac{1}{6}\left(1-\frac{1}{6}\right).
Calcule passo a passo:
1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6},
2\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{10}{36}=\frac{5}{18}.
Logo \operatorname{Var}(X)=\dfrac{5}{18}.

Passo 5

Cálculo detalhado de \operatorname{Var}(Y):
Y tem exatamente a mesma estrutura que X (conta de uma face com probabilidade \tfrac{1}{6} em 2 lançamentos), então o cálculo é idêntico:
\operatorname{Var}(Y)=2\cdot\frac{1}{6}\left(1-\frac{1}{6}\right)=\frac{5}{18}.

Passo 6

Cálculo detalhado de \operatorname{Var}(Z):
Para Z temos n=2 e p=\tfrac{1}{3}. Aplicando a fórmula:
\operatorname{Var}(Z)=2\cdot\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3}\right).
Passo a passo:
1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3},
2\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{9}.
Logo \operatorname{Var}(Z)=\dfrac{4}{9}.

Passo 7

Verificação se \operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y):
Observação simples: em cada lançamento não se pode obter simultaneamente 1 e 6. Portanto, somando as contagens em ambos os lançamentos,
X+Y
é exatamente o número de lançamentos em que saiu 1 ou 6. Ou seja,
X+Y=Z.
Logo \operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(Z)=\dfrac{4}{9}.
Agora calcule \operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y):
\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)=\frac{5}{18}+\frac{5}{18}=\frac{5}{9}.
Comparando:
\operatorname{Var}(X+Y)=\frac{4}{9}\neq\frac{5}{9}=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y).
Explicação didática do porquê (covariância negativa): as variáveis X e Y não são independentes — num mesmo lançamento, se saiu 1 isso impede que tenha saído 6, então há correlação negativa. Podemos calcular a covariância usando indicadores por lançamento. Para um mesmo lançamento, se I indica “saiu 1” e J indica “saiu 6”, então I\cdot J=0 sempre (não podem ocorrer juntos), logo \mathbb{E}[I J]=0, enquanto \mathbb{E}[I]=\mathbb{E}[J]=\tfrac{1}{6}. Assim
\operatorname{Cov}(I,J)=0-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=-\frac{1}{36}.
Somando as duas repetições (dois lançamentos) obtemos
\operatorname{Cov}(X,Y)=2\left(-\frac{1}{36}\right)=-\frac{1}{18}.
E usando a identidade
\operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y),
temos
\operatorname{Var}(X+Y)=\frac{5}{18}+\frac{5}{18}+2\left(-\frac{1}{18}\right)=\frac{10}{18}-\frac{2}{18}=\frac{8}{18}=\frac{4}{9},
compatível com o cálculo anterior. Assim a igualdade pedida NÃO é verdadeira porque X e Y não são independentes.

Resposta

\operatorname{Var}(X)=\dfrac{5}{18}
\operatorname{Var}(Y)=\dfrac{5}{18}
\operatorname{Var}(Z)=\dfrac{4}{9}
Não. \operatorname{Var}(X+Y)=\dfrac{4}{9}\neq\dfrac{5}{9}=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y).

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