Considere dois lançamentos consecutivos de um dado que suporemos equilibrado. Sejam
: número de vezes em que é obtida a face
: número de vezes em que é obtida a face
.
: número de vezes em que aparece ou uma face 1 ou uma face
. Determine:
,
e
. É verdade que
?
Passo 1
O enunciado: dois lançamentos consecutivos de um dado equilibrado. As variáveis aleatórias são:
-
: número de vezes que sai a face nos dois lançamentos, com . -
: número de vezes que sai a face nos dois lançamentos, com . -
: número de vezes que aparece ou uma face ou uma face nos dois lançamentos, com .
O que se pede:
- Determinar
. - Determinar
. - Determinar
. - Verificar se
é verdade.
Informações relevantes dadas:
- Dado equilibrado: em cada lançamento,
, , . - Os dois lançamentos são consecutivos e independentes entre si.
Passo 2
Escolha do método (sem complicar): modelar cada contagem como soma de variáveis indicadoras (Bernoulli) por lançamento. Essa é a forma mais direta e didática para esse problema pequeno.
Explicação do raciocínio:
- Em cada lançamento podemos definir indicadores (variáveis que valem
se o evento ocorre naquele lançamento, caso contrário). Somando os indicadores dos dois lançamentos obtemos a contagem total. - Soma de indicadores independentes com mesma probabilidade dá uma distribuição binomial. Aqui temos no máximo
ensaios (dois lançamentos), portanto cada variável é binomial com e probabilidade apropriada .
Vou agora ensinar as fórmulas básicas que usarei.
Passo 3
Fórmulas importantes (com explicação):
- Bernoulli: se
é uma variável indicadora com e , então Intuição: a média é a probabilidade de sucesso; a variância mede a dispersão e é vezes a probabilidade de não ocorrer. - Binomial: se
é soma de indicadores independentes idênticos com probabilidade (isto é, ), então Raciocínio rápido: soma de variâncias de Bernoulli independentes.
Aplicando ao problema:
- Para
: a cada lançamento a probabilidade de “1” é . Como há lançamentos e os indicadores por lançamento são independentes, . - Para
: mesma lógica, . - Para
: em cada lançamento o evento “saí ou ” tem probabilidade (são mutuamente exclusivos num mesmo lançamento), então .
Passo 4
Cálculo detalhado de
:
Usamos a fórmula da binomial com
e
:
Calcule passo a passo:
Logo
.
Passo 5
Cálculo detalhado de
:
Passo 6
Cálculo detalhado de
:
Para
temos
e
. Aplicando a fórmula:
Passo a passo:
Logo
.
Passo 7
Verificação se
:
Observação simples: em cada lançamento não se pode obter simultaneamente
e
. Portanto, somando as contagens em ambos os lançamentos,
é exatamente o número de lançamentos em que saiu
ou
. Ou seja,
Logo
.
Agora calcule
:
Comparando:
Explicação didática do porquê (covariância negativa): as variáveis
e
não são independentes — num mesmo lançamento, se saiu
isso impede que tenha saído
, então há correlação negativa. Podemos calcular a covariância usando indicadores por lançamento. Para um mesmo lançamento, se
indica “saiu 1” e
indica “saiu 6”, então
sempre (não podem ocorrer juntos), logo
, enquanto
. Assim
Somando as duas repetições (dois lançamentos) obtemos
E usando a identidade
temos
compatível com o cálculo anterior. Assim a igualdade pedida NÃO é verdadeira porque
e
não são independentes.
Resposta
Não.