Seja X uma variável aleatória com E\left(X^{2}\right)<\infty e sejam \alpha e \beta constantes reais.
a) Mostre que \operatorname{Var}(\alpha X+\beta)=\alpha^{2} \operatorname{Var}(X).
b) Calcule E\left[(\beta X+4)^{2}\right] se E(X)=10 e \operatorname{Var}(X)=3.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Mostrar que \operatorname{Var}(\alpha X+\beta)=\alpha^{2}\operatorname{Var}(X) para constantes reais \alpha e \beta, onde X é uma variável aleatória com E\bigl(X^{2}\bigr)<\infty.
  • (b) Calcular E\bigl[(\beta X+4)^{2}\bigr] sabendo que E(X)=10 e \operatorname{Var}(X)=3. Aqui \beta é a constante que aparece no enunciado.
Informações dadas que usaremos:
  • X tem E\bigl(X^{2}\bigr)<\infty (portanto E(X) e \operatorname{Var}(X) existem e são finitos).
  • \alpha e \beta são constantes reais.
  • Para o item (b): E(X)=10 e \operatorname{Var}(X)=3.

Passo 2

Relembrando definições e propriedades que vamos usar (explicadas passo a passo, sem pular etapas):
Definição de esperança (valor esperado):
E(X)
é a média ponderada dos valores de X. Não precisamos do cálculo integral/somatório aqui, só usaremos propriedades.
Linearidade da esperança: se a e b são constantes reais e Y é uma variável aleatória, então
E(aY+b)=a\,E(Y)+b.
Por que isso vale? Porque E é uma soma/integral linear: E(aY)=aE(Y) e E(b)=b quando b é constante.
Definição de variância:
\operatorname{Var}(X)=E\bigl[(X-E(X))^{2}\bigr].
Uma fórmula equivalente, muitas vezes mais prática, é
\operatorname{Var}(X)=E\bigl(X^{2}\bigr)-\bigl(E(X)\bigr)^{2}.
Essa igualdade vem de expandir (X-E(X))^{2}=X^{2}-2X E(X)+(E(X))^{2} e aplicar E(\cdot) usando linearidade.
Observação importante: adicionar uma constante a X não altera a variância (porque (X+c)-E(X+c) = X-E(X)), e multiplicar X por uma constante a multiplica a variância por a^{2}. Vamos demonstrar isso rigorosamente no próximo passo.

Passo 3

Prova do item (a). Começamos pela definição de variância aplicada à variável Y=\alpha X+\beta:
\operatorname{Var}(\alpha X+\beta)=E\bigl[(\alpha X+\beta)^{2}\bigr]-\bigl(E(\alpha X+\beta)\bigr)^{2}.
Agora calculamos separadamente E(\alpha X+\beta) e E\bigl[(\alpha X+\beta)^{2}\bigr].
Pela linearidade da esperança,
E(\alpha X+\beta)=\alpha\,E(X)+\beta.
Para E\bigl[(\alpha X+\beta)^{2}\bigr] expandimos o quadrado:
(\alpha X+\beta)^{2}=\alpha^{2}X^{2}+2\alpha\beta X+\beta^{2}.
Aplicando E (e usando linearidade novamente),
E\bigl[(\alpha X+\beta)^{2}\bigr]=\alpha^{2}E\bigl(X^{2}\bigr)+2\alpha\beta E(X)+\beta^{2}.

Passo 4

Substituímos essas expressões na fórmula da variância:
\begin{aligned} \operatorname{Var}(\alpha X+\beta) &= \bigl(\alpha^{2}E\bigl(X^{2}\bigr)+2\alpha\beta E(X)+\beta^{2}\bigr) - \bigl(\alpha E(X)+\beta\bigr)^{2}. \end{aligned}
Agora expandimos o quadrado no segundo termo:
\bigl(\alpha E(X)+\beta\bigr)^{2}=\alpha^{2}\bigl(E(X)\bigr)^{2}+2\alpha\beta E(X)+\beta^{2}.
Subtraindo, vemos que os termos 2\alpha\beta E(X) e \beta^{2} cancelam:
\operatorname{Var}(\alpha X+\beta) = \alpha^{2}E\bigl(X^{2}\bigr) - \alpha^{2}\bigl(E(X)\bigr)^{2}.
Fatorando \alpha^{2},
\operatorname{Var}(\alpha X+\beta)=\alpha^{2}\bigl(E\bigl(X^{2}\bigr)-\bigl(E(X)\bigr)^{2}\bigr).
Pela fórmula da variância para X (Passo 2),
E\bigl(X^{2}\bigr)-\bigl(E(X)\bigr)^{2}=\operatorname{Var}(X).
Portanto
\operatorname{Var}(\alpha X+\beta)=\alpha^{2}\operatorname{Var}(X),
o que prova o item (a).

Passo 5

Comentário didático curto: isso mostra duas coisas úteis para a prova:
  • Somar uma constante ( \beta) não muda a variância.
  • Multiplicar por \alpha multiplica a variância por \alpha^{2}.
    Guarde essas propriedades — elas aparecem muito em exercícios.

Passo 6

Agora o item (b). Queremos E\bigl[(\beta X+4)^{2}\bigr] sabendo E(X)=10 e \operatorname{Var}(X)=3.
Primeiro expandimos o quadrado:
(\beta X+4)^{2}=\beta^{2}X^{2}+2\cdot\beta X\cdot 4 + 4^{2} = \beta^{2}X^{2}+8\beta X+16.
Aplicando E,
E\bigl[(\beta X+4)^{2}\bigr]=\beta^{2}E\bigl(X^{2}\bigr)+8\beta E(X)+16.

Passo 7

Falta E\bigl(X^{2}\bigr). Usamos a relação entre variância e momento de segunda ordem:
\operatorname{Var}(X)=E\bigl(X^{2}\bigr)-\bigl(E(X)\bigr)^{2}.
Logo
E\bigl(X^{2}\bigr)=\operatorname{Var}(X)+\bigl(E(X)\bigr)^{2}.
Substituindo os valores dados E(X)=10 e \operatorname{Var}(X)=3:
E\bigl(X^{2}\bigr)=3+10^{2}=3+100=103.
Agora voltamos à expressão de E\bigl[(\beta X+4)^{2}\bigr]:
E\bigl[(\beta X+4)^{2}\bigr]=\beta^{2}\cdot 103 + 8\beta\cdot 10 + 16.
Simplificando os termos numéricos,
E\bigl[(\beta X+4)^{2}\bigr]=103\beta^{2}+80\beta+16.

Resposta

(a) \operatorname{Var}(\alpha X+\beta)=\alpha^{2}\operatorname{Var}(X)
(b) E\bigl[(\beta X+4)^{2}\bigr]=103\beta^{2}+80\beta+16

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