Seja
uma variável aleatória com
e sejam
e
constantes reais.
a) Mostre que
.
b) Calcule
se
e
.
a) Mostre que
b) Calcule
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Mostrar que
para constantes reais e , onde é uma variável aleatória com . - (b) Calcular
sabendo que e . Aqui é a constante que aparece no enunciado.
Informações dadas que usaremos:
-
tem (portanto e existem e são finitos). -
e são constantes reais. - Para o item (b):
e .
Passo 2
Relembrando definições e propriedades que vamos usar (explicadas passo a passo, sem pular etapas):
Definição de esperança (valor esperado):
é a média ponderada dos valores de
. Não precisamos do cálculo integral/somatório aqui, só usaremos propriedades.
Linearidade da esperança: se
e
são constantes reais e
é uma variável aleatória, então
Por que isso vale? Porque
é uma soma/integral linear:
e
quando
é constante.
Definição de variância:
Uma fórmula equivalente, muitas vezes mais prática, é
Essa igualdade vem de expandir
e aplicar
usando linearidade.
Observação importante: adicionar uma constante a
não altera a variância (porque
), e multiplicar
por uma constante
multiplica a variância por
. Vamos demonstrar isso rigorosamente no próximo passo.
Passo 3
Prova do item (a). Começamos pela definição de variância aplicada à variável
:
Agora calculamos separadamente
e
.
Pela linearidade da esperança,
Para
expandimos o quadrado:
Aplicando
(e usando linearidade novamente),
Passo 4
Substituímos essas expressões na fórmula da variância:
Agora expandimos o quadrado no segundo termo:
Subtraindo, vemos que os termos
e
cancelam:
Fatorando
,
Pela fórmula da variância para
(Passo 2),
Portanto
o que prova o item (a).
Passo 5
Comentário didático curto: isso mostra duas coisas úteis para a prova:
- Somar uma constante (
) não muda a variância. - Multiplicar por
multiplica a variância por .
Guarde essas propriedades — elas aparecem muito em exercícios.
Passo 6
Agora o item (b). Queremos
sabendo
e
.
Primeiro expandimos o quadrado:
Aplicando
,
Passo 7
Falta
. Usamos a relação entre variância e momento de segunda ordem:
Logo
Substituindo os valores dados
e
:
Agora voltamos à expressão de
:
Simplificando os termos numéricos,
Resposta
(a)
(b)
(b)