Considere dois poliedros convexos \mathbf{A} e \mathbf{B}, em que: o número de faces de \mathbf{B} é igual ao número de faces \mathbf{A} acrescido de 2 faces; o poliedro \mathbf{A} tem somente faces quadradas, e \mathbf{B}, somente faces triangulares; ambos têm o mesmo número de arestas. Calcule o mesmo número de arestas, vértices e faces de cada um desses poliedros.

Passo 1

O enunciado pede as quantidades de faces, arestas e vértices de dois poliedros convexos \mathbf{A} e \mathbf{B} tais que:
  1. \mathbf{A} tem apenas faces quadradas, \mathbf{B} apenas faces triangulares.
  2. \mathbf{B} tem 2 faces a mais que \mathbf{A}.
  3. Ambos têm o mesmo número de arestas.
    Vamos usar as relações de incidência entre faces e arestas e a fórmula de Euler para poliedros convexos.

Passo 2

Sejam \,F_A, E, V_A as faces, arestas e vértices de \mathbf{A} e \,F_B, E, V_B as faces, arestas e vértices de \mathbf{B}.
Temos a condição
F_B = F_A + 2.

Passo 3

Relações de incidência faces–arestas:
Como cada face de \mathbf{A} é quadrada, a soma dos “lados” das faces é 4F_A, mas cada aresta pertence a duas faces, logo
2E = 4F_A \quad\Longrightarrow\quad E = 2F_A.
Para \mathbf{B}, cada face é triangular, então
2E = 3F_B \quad\Longrightarrow\quad E = \tfrac{3}{2}\,F_B.

Passo 4

Igualando as expressões de E e usando F_B=F_A+2, obtemos
2F_A \;=\;\tfrac{3}{2}\,(F_A+2) \quad\Longrightarrow\quad 4F_A = 3F_A + 6 \quad\Longrightarrow\quad F_A = 6,
e assim
F_B = 6 + 2 = 8.

Passo 5

O número de arestas vale
E = 2F_A = 2 \cdot 6 = 12.

Passo 6

Aplicando a fórmula de Euler \,V - E + F = 2:
Para \mathbf{A}:
V_A = E - F_A + 2 = 12 - 6 + 2 = 8.
Para \mathbf{B}:
V_B = E - F_B + 2 = 12 - 8 + 2 = 6.

Resposta

Para \mathbf{A}: F_A = 6, E = 12, V_A = 8.
Para \mathbf{B}: F_B = 8, E = 12, V_B = 6.

Exercícios relacionados