Considere dois poliedros convexos
e
, em que: o número de faces de
é igual ao número de faces
acrescido de 2 faces; o poliedro
tem somente faces quadradas, e
, somente faces triangulares; ambos têm o mesmo número de arestas. Calcule o mesmo número de arestas, vértices e faces de cada um desses poliedros.
Passo 1
O enunciado pede as quantidades de faces, arestas e vértices de dois poliedros convexos
e
tais que:
-
tem apenas faces quadradas, apenas faces triangulares. -
tem faces a mais que . - Ambos têm o mesmo número de arestas.
Vamos usar as relações de incidência entre faces e arestas e a fórmula de Euler para poliedros convexos.
Passo 2
Sejam
,
,
as faces, arestas e vértices de
e
,
,
as faces, arestas e vértices de
.
Temos a condição
Temos a condição
Passo 3
Relações de incidência faces–arestas:
Como cada face de é quadrada, a soma dos “lados” das faces é
, mas cada aresta pertence a duas faces, logo
Como cada face de
Para
, cada face é triangular, então
Passo 4
Igualando as expressões de
e usando
, obtemos
e assim
Passo 5
O número de arestas vale
Passo 6
Aplicando a fórmula de Euler
:
Para :
Para
Para
:
Resposta
Para
:
,
,
.
Para :
,
,
.
Para