Um poliedro convexo possui, apenas, faces triangulares, quadrangulares e pentagonais. O número de faces triangulares excede o de faces pentagonais em duas unidades. Calcule o número de faces de cada tipo, sabendo que o poliedro tem 7 vértices.
Passo 1
O enunciado descreve um poliedro convexo com apenas faces triangulares, quadrangulares e pentagonais. Sejam
o número de faces triangulares,
o número de faces quadrangulares e
o número de faces pentagonais. Sabemos que
e que o poliedro tem
vértices. Para resolver, vamos usar a fórmula de Euler e a relação entre faces e arestas.
Passo 2
Pela fórmula de Euler para poliedros:
onde
é o número total de faces e
o número de arestas. Como
, temos
ou seja
Passo 3
Contando cada aresta por dois lados, a soma dos lados de todas as faces é
Substituindo
, obtém-se
Reagrupando dá
Passo 4
Usamos agora a condição
. Substituindo em
, obtemos
Passo 5
Procuramos soluções inteiras não negativas. Como há faces pentagonais e quadrangulares, exigimos
e
. Dos pares
possíveis:
- Se
, então e . - Se
, então , o que não vale.
Logo a única solução viável é
Resposta
O poliedro tem
faces triangulares,
faces quadrangulares e
face pentagonal.