Considere dois solenoides coaxiais, cada um conduzindo uma corrente i em direções opostas. O solenoide interno, de raio a, possui n_{1} voltas por unidade de comprimento; o solenoide externo possui raio b e n_{2} voltas por unidade de comprimento. Determine \vec{B}
entre eles

Passo 1

O enunciado dá dois solenoides coaxiais (mesmo eixo), cada um conduzindo uma corrente i em direções opostas. O solenoide interno tem raio a e n_{1} voltas por unidade de comprimento. O solenoide externo tem raio b e n_{2} voltas por unidade de comprimento. A região de interesse é entre os solenoides, isto é, a<r<b. A pergunta é: determinar \vec{B} nessa região (campo magnético vetorial).
Informações relevantes fornecidas:
\;a — raio do solenoide interno.
\;b — raio do solenoide externo.
\;n_{1} — voltas por unidade de comprimento do solenoide interno.
\;n_{2} — voltas por unidade de comprimento do solenoide externo.
\;i — corrente que percorre cada solenoide (as correntes têm sentidos opostos).
Região onde queremos \vec{B}: a<r<b.

Passo 2

Escolho um sistema de referência e convenção de sinal para ficar claro o que significa “direção” do campo. Defino o eixo axial do conjunto como o eixo \hat{z}. Vou tomar \hat{z} tal que, aplicando a regra da mão direita ao sentido da corrente no solenoide interno, o campo que esse solenoide produziria dentro dele (para r<a) apontaria na direção +\hat{z}. Com essa convenção, como as correntes são opostas, o solenoide externo produzirá um campo apontando em -\hat{z} dentro do seu interior.
Método que vou usar (explico passo a passo): usar o resultado clássico para o campo magnético de um solenoide longo (ideal) obtido por Lei de Ampère, e depois usar princípio da superposição (o campo total é soma vetorial dos campos gerados por cada solenoide). Vou primeiro deduzir/lembrar o campo de um solenoide longo e por que fora dele o campo é desprezível, e então somar as contribuições na região a<r<b.

Passo 3

Aprendendo a aplicar a Lei de Ampère (a fórmula e o porquê): a forma integral da Lei de Ampère no vácuo diz que, para qualquer curva fechada,
\oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell}=\mu_{0} I_{\text{enc}},
onde \vec{B} é o campo magnético, d\vec{\ell} é um elemento de comprimento ao longo da curva, \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo (constante), e I_{\text{enc}} é a corrente total atravessando a superfície limitada pela curva (correntes que a curva “encerra”). Essa lei é a ferramenta que usaremos para obter o campo de um solenoide longo.

Passo 4

Cálculo do campo dentro de um solenoide longo ideal (dedução passo a passo):
  • Imagine um solenoide longo e estreito com n voltas por unidade de comprimento e corrente i em cada volta. Por simetria, dentro do solenoide o campo é quase uniforme e paralelo ao eixo (tomado como \hat{z}); fora, por simetria e cancelamento, o campo é praticamente nulo (isso é a idealização do “solenoide longo”).
  • Para obter o valor numérico, escolhemos um retângulo de Ampère cujo lado longo tem comprimento l, com uma parte desse lado dentro do solenoide (onde o campo vale B) e a outra parte fora (onde vamos assumir B\approx 0). Os outros dois lados contribuem pouco porque são perpendiculares ao campo ou de comprimento pequeno.
  • A corrente total atravessando a superfície do retângulo é o número de espiras dentro do comprimento l vezes a corrente por espira:
I_{\text{enc}}=n\,l\;i,
pois n\,l é o número de voltas contidas no comprimento l.
  • Aplicando Ampère e considerando apenas a contribuição relevante do lado interno do retângulo:
B\,l=\mu_{0}(n\,l\,i).
  • Cancelando l em ambos os lados obtemos o campo magnético dentro do solenoide:
B=\mu_{0} n i.
Aqui B é o módulo do campo, e a direção é axial (paralela a \hat{z}), determinada pela regra da mão direita com o sentido da corrente nas voltas. Em notação vetorial:
\vec{B}_{\text{dentro}}=\mu_{0} n i\,\hat{z}_{\text{(convenção conforme sentido da corrente)}}.çã
Significado das variáveis:
\mu_{0} — permeabilidade do vácuo;
n — voltas por unidade de comprimento;
i — corrente em cada volta;
\hat{z} — vetor unitário ao longo do eixo do solenoide, com orientação dada pela regra da mão direita aplicada ao sentido da corrente.

Passo 5

Por que o campo fora de um solenoide ideal é (aproximadamente) zero?
  • Intuição física: cada volta produz um campo que fora do conjunto é praticamente cancelado pelas voltas vizinhas quando o solenoide é longo e muito apertado (muitas voltas por unidade de comprimento). Pelo princípio da superposição, as contribuições externas se anulam. Matematicamente, pode-se modelar o feixe de espiras como uma corrente superficial \vec{K} e mostrar, usando simetria, que o campo externo se anula para um solenoide ideal infinito.
  • Resultado prático para provas: para um solenoide longo e ideal, usamos o resultado conhecido e justificado acima: campo dentro \mu_{0} n i, campo fora \approx 0.

Passo 6

Aplicando superposição aos dois solenoides coaxiais (região a<r<b):
  • Cada solenoide por si tem o comportamento ideal descrito. Para um ponto com a<r<b (entre os cilindros), a contribuição do solenoide interno é a contribuição “fora” do solenoide interno — para o modelo ideal isso é praticamente zero:
\vec{B}_{\text{devido ao interno, em }a<r<b}= \vec{0}.
  • Já para o solenoide externo, um ponto com r<b está dentro do solenoide externo (pois r<b). Portanto, o solenoide externo produz naquele ponto um campo axial igual, em módulo, a \mu_{0} n_{2} i, apontando na direção dada pela regra da mão direita aplicada ao sentido da corrente do solenoide externo.
  • Lembrando que as correntes nos dois solenoides têm sentidos opostos e que eu defini \hat{z} conforme o sentido da corrente no solenoide interno (ver Passo 2), o campo gerado pelo solenoide externo aponta na direção -\hat{z}. Assim, a contribuição do externo é
\vec{B}_{\text{externo, em }a<r<b}=-\mu_{0} n_{2} i\,\hat{z}.
  • Somando (superposição):
\vec{B}_{\text{total, }a<r<b}=\vec{B}_{\text{interno (zero)}}+\vec{B}_{\text{externo}}=\vec{0}+(-\mu_{0} n_{2} i\,\hat{z})=-\mu_{0} n_{2} i\,\hat{z}.

Passo 7

Interpretação final e checagem:
  • Magnitude do campo entre os cilindros: \mu_{0} n_{2} i.
  • Direção: ao longo do eixo, apontando no sentido determinado pela regra da mão direita para a corrente do solenoide externo; com a convenção adotada (Passo 2) isso é -\hat{z}, ou seja, oposto ao campo que o solenoide interno produziria dentro de si.
  • Observação útil para prova: se você tivesse perguntado o campo para r<a (dentro do solenoide interno), aí ambos os solenoides contribuem e o resultado seria \vec{B}=\mu_{0}(n_{1}-n_{2})i\,\hat{z} com a mesma convenção de sinais (pois para r<a você está dentro dos dois, e os campos se somam com sinais opostos). Para r>b (fora de ambos) o campo total idealmente é zero.

Resposta

\vec{B}=-\mu_{0} n_{2} i\,\hat{z}

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