Considere dois solenoides coaxiais, cada um conduzindo uma corrente
em direções opostas. O solenoide interno, de raio
, possui
voltas por unidade de comprimento; o solenoide externo possui raio
e
voltas por unidade de comprimento. Determine
entre eles
entre eles
Passo 1
O enunciado dá dois solenoides coaxiais (mesmo eixo), cada um conduzindo uma corrente
em direções opostas. O solenoide interno tem raio
e
voltas por unidade de comprimento. O solenoide externo tem raio
e
voltas por unidade de comprimento. A região de interesse é entre os solenoides, isto é,
. A pergunta é: determinar
nessa região (campo magnético vetorial).
Informações relevantes fornecidas:
— raio do solenoide interno.
— raio do solenoide externo.
— voltas por unidade de comprimento do solenoide interno.
— voltas por unidade de comprimento do solenoide externo.
— corrente que percorre cada solenoide (as correntes têm sentidos opostos).
Região onde queremos :
.
Região onde queremos
Passo 2
Escolho um sistema de referência e convenção de sinal para ficar claro o que significa “direção” do campo. Defino o eixo axial do conjunto como o eixo
. Vou tomar
tal que, aplicando a regra da mão direita ao sentido da corrente no solenoide interno, o campo que esse solenoide produziria dentro dele (para
) apontaria na direção
. Com essa convenção, como as correntes são opostas, o solenoide externo produzirá um campo apontando em
dentro do seu interior.
Método que vou usar (explico passo a passo): usar o resultado clássico para o campo magnético de um solenoide longo (ideal) obtido por Lei de Ampère, e depois usar princípio da superposição (o campo total é soma vetorial dos campos gerados por cada solenoide). Vou primeiro deduzir/lembrar o campo de um solenoide longo e por que fora dele o campo é desprezível, e então somar as contribuições na região
.
Passo 3
Aprendendo a aplicar a Lei de Ampère (a fórmula e o porquê): a forma integral da Lei de Ampère no vácuo diz que, para qualquer curva fechada,
onde
é o campo magnético,
é um elemento de comprimento ao longo da curva,
é a permeabilidade do vácuo (constante), e
é a corrente total atravessando a superfície limitada pela curva (correntes que a curva “encerra”). Essa lei é a ferramenta que usaremos para obter o campo de um solenoide longo.
Passo 4
Cálculo do campo dentro de um solenoide longo ideal (dedução passo a passo):
- Imagine um solenoide longo e estreito com
voltas por unidade de comprimento e corrente em cada volta. Por simetria, dentro do solenoide o campo é quase uniforme e paralelo ao eixo (tomado como ); fora, por simetria e cancelamento, o campo é praticamente nulo (isso é a idealização do “solenoide longo”). - Para obter o valor numérico, escolhemos um retângulo de Ampère cujo lado longo tem comprimento
, com uma parte desse lado dentro do solenoide (onde o campo vale ) e a outra parte fora (onde vamos assumir ). Os outros dois lados contribuem pouco porque são perpendiculares ao campo ou de comprimento pequeno. - A corrente total atravessando a superfície do retângulo é o número de espiras dentro do comprimento
vezes a corrente por espira:
pois
é o número de voltas contidas no comprimento
.
- Aplicando Ampère e considerando apenas a contribuição relevante do lado interno do retângulo:
- Cancelando
em ambos os lados obtemos o campo magnético dentro do solenoide:
Aqui
é o módulo do campo, e a direção é axial (paralela a
), determinada pela regra da mão direita com o sentido da corrente nas voltas. Em notação vetorial:
Significado das variáveis:
— permeabilidade do vácuo;
— voltas por unidade de comprimento;
— corrente em cada volta;
— vetor unitário ao longo do eixo do solenoide, com orientação dada pela regra da mão direita aplicada ao sentido da corrente.
Passo 5
Por que o campo fora de um solenoide ideal é (aproximadamente) zero?
- Intuição física: cada volta produz um campo que fora do conjunto é praticamente cancelado pelas voltas vizinhas quando o solenoide é longo e muito apertado (muitas voltas por unidade de comprimento). Pelo princípio da superposição, as contribuições externas se anulam. Matematicamente, pode-se modelar o feixe de espiras como uma corrente superficial
e mostrar, usando simetria, que o campo externo se anula para um solenoide ideal infinito. - Resultado prático para provas: para um solenoide longo e ideal, usamos o resultado conhecido e justificado acima: campo dentro
, campo fora .
Passo 6
Aplicando superposição aos dois solenoides coaxiais (região
):
- Cada solenoide por si tem o comportamento ideal descrito. Para um ponto com
(entre os cilindros), a contribuição do solenoide interno é a contribuição “fora” do solenoide interno — para o modelo ideal isso é praticamente zero:
- Já para o solenoide externo, um ponto com
está dentro do solenoide externo (pois ). Portanto, o solenoide externo produz naquele ponto um campo axial igual, em módulo, a , apontando na direção dada pela regra da mão direita aplicada ao sentido da corrente do solenoide externo. - Lembrando que as correntes nos dois solenoides têm sentidos opostos e que eu defini
conforme o sentido da corrente no solenoide interno (ver Passo 2), o campo gerado pelo solenoide externo aponta na direção . Assim, a contribuição do externo é
- Somando (superposição):
Passo 7
Interpretação final e checagem:
- Magnitude do campo entre os cilindros:
. - Direção: ao longo do eixo, apontando no sentido determinado pela regra da mão direita para a corrente do solenoide externo; com a convenção adotada (Passo 2) isso é
, ou seja, oposto ao campo que o solenoide interno produziria dentro de si. - Observação útil para prova: se você tivesse perguntado o campo para
(dentro do solenoide interno), aí ambos os solenoides contribuem e o resultado seria com a mesma convenção de sinais (pois para você está dentro dos dois, e os campos se somam com sinais opostos). Para (fora de ambos) o campo total idealmente é zero.