Considere dois solenoides coaxiais, cada um conduzindo uma corrente i em direções opostas. O solenoide interno, de raio a, possui n_{1} voltas por unidade de comprimento; o solenoide externo possui raio b e n_{2} voltas por unidade de comprimento. Determine \vec{B}
fora deles.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o campo magnético fora dos dois solenoides coaxiais. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
  • Solenoide interno: raio a, número de espiras por unidade de comprimento n_{1}, cada espira conduz corrente i.
  • Solenoide externo: raio b (com b>a), número de espiras por unidade de comprimento n_{2}, cada espira conduz corrente i em direção oposta à corrente do solenoide interno.
  • Os solenoides são coaxiais (compartilham o mesmo eixo).
    A pergunta específica é: determinar \vec{B} fora deles (isto é, na região radial r>b). Nenhuma outra informação foi pedida.

Passo 2

Primeiro, vou fixar a idealização que é padrão neste tipo de exercício e que o enunciado pressupõe: assumimos solenoides “ideais” (muito longos) com distribuição uniforme de espiras por unidade de comprimento. Essa idealização implica que, por simetria, o campo magnético produzido por cada solenoide é:
  • essencialmente uniforme e paralelo ao eixo dentro do solenoide;
  • desprezível (zero, no modelo ideal) fora do solenoide.
Antes de usar fórmulas, explico por que essa é uma suposição razoável: um solenoide longo pode ser visto como uma soma de muitas espiras circulares. No interior do conjunto de muitas espiras as contribuições se somam formando um campo axial quase uniforme; fora, as contribuições de partes diferentes tendem a cancelar fortemente por simetria, e no limite ideal isso dá campo externo nulo. Vou usar essa propriedade e depois justificá-la rapidamente com a Lei de Ampère.

Passo 3

Apresento a Lei de Ampère na forma integral, que é a ferramenta mais direta aqui:
\oint_{\mathcal{C}} \vec{B}\cdot d\vec{\ell} = \mu_{0} I_{\text{enc}},
onde \mathcal{C} é um laço cerrado arbitrário e I_{\text{enc}} é a corrente elétrica total atravessando qualquer superfície cuja borda seja \mathcal{C}. Vou usar essa lei escolhendo um laço que respeite a simetria do problema.

Passo 4

Escolho um laço retangular de Ampère com dois lados paralelos ao eixo do solenoide (comprimento L) e dois lados muito curtos ligando-os, de modo que o laço rode o eixo coaxialmente (imagine um retângulo no plano r- z com um lado a um raio interior e o outro a um raio exterior). Coloco um dos lados do retângulo em uma região bem externa ( r>b) e o outro lado onde for conveniente (por exemplo, no eixo ou dentro de um solenoide). Pelo princípio da simetria cilíndrica dos solenoides ideais, \vec{B} é paralelo ao eixo dentro das regiões ocupadas pelo campo axial e quase independente da posição angular. Assim o integral de linha reduz-se, nas partes longas paralelas ao eixo, a B\cdot L ou diferença entre dois B\cdot L.
A ideia usada rotineiramente nessas derivações é: contando quantas espiras ficam “entre” os dois lados longos do retângulo, a corrente atravessando a superfície vale n\,L\,i para um solenoide com n espiras por unidade de comprimento. Isso porque em um trecho de comprimento L nL espiras e cada espira contribui com corrente i atravessando a superfície escolhida (orientação com sinal de acordo).

Passo 5

Para um solenoide isolado e ideal, ao aplicar Ampère com um lado interno (dentro do solenoide) e outro lado externo (fora do solenoide), obtém-se a relação (para comprimento L):
B_{\text{dentro}}L - B_{\text{fora}}L = \mu_{0} (n i L).
No modelo ideal de solenoide longo sabemos (e pode-se obter por este tipo de aplicação) que B_{\text{fora}}=0 e portanto B_{\text{dentro}}=\mu_{0} n i. Vou aplicar esse raciocínio por superposição aos dois solenoides.

Passo 6

Agora aplico superposição linear (campo magnético obedece ao princípio da superposição em magnetostática): o campo total é soma vetorial dos campos produzidos por cada solenoide individualmente. Cada solenoide, isoladamente e no modelo ideal, tem campo fora igual a zero. Portanto, a soma dos dois campos fora é simplesmente
\vec{B}_{\text{fora}}=\vec{B}_{\text{fora,1}}+\vec{B}_{\text{fora,2}}=\vec{0}+\vec{0}=\vec{0}.
Essa conclusão é independente dos valores de n_{1} e n_{2} ou do fato das correntes estarem em direções opostas: cada solenoide ideal não cria campo fora, logo fora dos dois não há campo resultante.

Passo 7

Dou uma intuição física curta e útil para a prova: fora de um solenoide longo, cada pequeno segmento de corrente numa espira tem um parceiro simétrico numa outra espira (ou outra parte da mesma espira) cuja contribuição ao campo externo se cancela. No limite de muitas espiras uniformemente distribuídas (o modelo com densidade n), essa soma de cancelamentos leva a campo externo nulo. Com dois solenoides aninhados, mesmo que as correntes sejam opostas, essa propriedade de cancelamento vale para cada um separadamente, então continua nulo o campo fora.

Resposta

\displaystyle \vec{B}=\vec{0} (para r>b).

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