Um fio condutor longo e reto de raio R conduz uma corrente não uniforme cuja densidade de corrente é J=J_{0} r / R, onde J_{0} é uma constante. A corrente total é i.
Determine uma expressão para i
Passo 1
O enunciado dá um fio condutor longo e reto de raio \,R cuja densidade de corrente varia radialmente segundo \;J(r)=J_{0}\dfrac{r}{R}, onde \,J_{0} é uma constante. A corrente total que atravessa a seção transversal do fio é \,i.
O que se pede: determinar uma expressão para \,i em função dos dados (\,J_{0} e \,R).
Informações relevantes fornecidas:
\;J(r)=J_{0}\dfrac{r}{R} para 0\le r\le R.
O fio é longo e reto (simetria cilíndrica).
A corrente total \,i é a corrente que atravessa toda a seção circular de raio \,R.
Passo 2
Conceito fundamental: a corrente total que atravessa uma área S é a integral do fluxo de densidade de corrente através dessa área. Em fórmula:
i=\int_{S}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{A}.
Aqui a densidade \mathbf{J} está dirigida ao longo do eixo do fio e d\mathbf{A} também (orientado ao longo do eixo), portanto o produto escalar reduz-se ao produto escalar de magnitudes:
i=\int_{S}J(r)\,dA.
Explicando: J(r) é a intensidade da corrente por unidade de área na posição radial r; somando (integrando) J(r) em toda a área da seção obtemos a corrente total.
Passo 3
Escolha das coordenadas e elemento de área: pela simetria cilíndrica é natural usar coordenadas polares no plano da seção. Um anel de raio r e espessura dr tem área
Interpretação rápida (checagem): a área da seção é \pi R^{2}. A densidade média \langle J\rangle sobre a seção é \dfrac{i}{\pi R^{2}}=\dfrac{2J_{0}}{3}. Isso faz sentido: J(r) cresce linearmente de 0 no centro até J_{0} na borda, então a média vale \tfrac{2}{3}J_{0}. Em contraste, para densidade uniforme J= constante teríamos i=J\pi R^{2}.