Um fio condutor longo e reto de raio R conduz uma corrente não uniforme cuja densidade de corrente é J=J_{0} r / R, onde J_{0} é uma constante. A corrente total é i.
Determine uma expressão para i

Passo 1

O enunciado dá um fio condutor longo e reto de raio \,R cuja densidade de corrente varia radialmente segundo \;J(r)=J_{0}\dfrac{r}{R}, onde \,J_{0} é uma constante. A corrente total que atravessa a seção transversal do fio é \,i.
O que se pede: determinar uma expressão para \,i em função dos dados ( \,J_{0} e \,R).
Informações relevantes fornecidas:
  • \;J(r)=J_{0}\dfrac{r}{R} para 0\le r\le R.
  • O fio é longo e reto (simetria cilíndrica).
  • A corrente total \,i é a corrente que atravessa toda a seção circular de raio \,R.

Passo 2

Conceito fundamental: a corrente total que atravessa uma área S é a integral do fluxo de densidade de corrente através dessa área. Em fórmula:
i=\int_{S}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{A}.
Aqui a densidade \mathbf{J} está dirigida ao longo do eixo do fio e d\mathbf{A} também (orientado ao longo do eixo), portanto o produto escalar reduz-se ao produto escalar de magnitudes:
i=\int_{S}J(r)\,dA.
Explicando: J(r) é a intensidade da corrente por unidade de área na posição radial r; somando (integrando) J(r) em toda a área da seção obtemos a corrente total.

Passo 3

Escolha das coordenadas e elemento de área: pela simetria cilíndrica é natural usar coordenadas polares no plano da seção. Um anel de raio r e espessura dr tem área
dA=\text{circunferência}\times\text{espessura} = 2\pi r\,dr.ê
Expliquei: pensar num anel fino — a sua área é a volta inteira 2\pi r vezes a largura dr.

Passo 4

Escrevendo o elemento de corrente que passa pelo anel entre r e r+dr:
di = J(r)\,dA.
Substituindo J(r)=J_{0}\dfrac{r}{R} e dA=2\pi r\,dr,
di = J_{0}\dfrac{r}{R}\cdot 2\pi r\,dr = 2\pi J_{0}\dfrac{r^{2}}{R}\,dr.
Expliquei: multipliquei a densidade de corrente naquele anel pela área do anel para obter a corrente que passa por ele.

Passo 5

Agora integramos os elementos di de r=0 até r=R para obter a corrente total:
i=\int_{0}^{R}di=\int_{0}^{R}2\pi J_{0}\dfrac{r^{2}}{R}\,dr.
Coloco o fator constante fora da integral:
i=2\pi J_{0}\dfrac{1}{R}\int_{0}^{R}r^{2}\,dr.

Passo 6

Calcule a integral \int_{0}^{R}r^{2}\,dr. A primitiva de r^{2} é \dfrac{r^{3}}{3}, logo
\int_{0}^{R}r^{2}\,dr=\left.\dfrac{r^{3}}{3}\right|_{0}^{R}=\dfrac{R^{3}}{3}.
Substituindo de volta:
i=2\pi J_{0}\dfrac{1}{R}\cdot \dfrac{R^{3}}{3} = 2\pi J_{0}\dfrac{R^{2}}{3}.

Passo 7

Interpretação rápida (checagem): a área da seção é \pi R^{2}. A densidade média \langle J\rangle sobre a seção é \dfrac{i}{\pi R^{2}}=\dfrac{2J_{0}}{3}. Isso faz sentido: J(r) cresce linearmente de 0 no centro até J_{0} na borda, então a média vale \tfrac{2}{3}J_{0}. Em contraste, para densidade uniforme J= constante teríamos i=J\pi R^{2}.

Resposta

i=\frac{2\pi J_{0}R^{2}}{3}

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