Considere dois solenoides coaxiais de raios r_{1} e r_{2}, cada um conectado a um circuito distinto. O solenoide de raio r_{1} está ligado a uma fonte que mantém um potencial V=V_{0} \sin (\omega t). O outro solenoide está conectado a um circuito que contém, além do solenoide, uma única resistência.
(a) Determine as autoindutâncias de cada solenoide e a indutância mútua entre ambos. (1,0 p)
(b) Determine a força eletromotriz gerada no solenoide de raio r_{2} devido a corrente no solenoide de raio r_{1} .(1,0 p)
(c) Determine a corrente que passa por ambos os solenoides. ( 1,0 \mathrm{p} )

Passo 1

O enunciado fala de dois solenoides longos, coaxiais, de raios r_{1} e r_{2}, compridos ambos de comprimento l, com N_{1} espiras no primeiro e N_{2} espiras no segundo. Cada um está em circuito distinto: o solenoide 1 recebe uma tensão alternada
V(t)=V_{0}\sin(\omega t),
e o solenoide 2 está em série com uma resistência R. Precisamos calcular:
– (a) as autoindutâncias L_{1} e L_{2} e a indutância mútua M;
– (b) a fem induzida no solenoide 2 devido à corrente em 1;
– (c) as correntes I_{1}(t) e I_{2}(t) nos dois circuitos.

Passo 2

Para solenoides longos de área da seção reta A_{i}=\pi r_{i}^{2} e densidade de espiras por comprimento n_{i}=N_{i}/l, as autoindutâncias valem
L_{i}=\mu_{0}\,n_{i}^{2}\,A_{i}\,l \quad\longrightarrow\quad L_{i}=\mu_{0}\,\frac{N_{i}^{2}}{l}\,\pi r_{i}^{2},
para i=1,2. A indutância mútua é
M=\mu_{0}\,n_{1}\,n_{2}\,A_{\rm comum}\,l,
onde A_{\rm comum} é a menor área entre as duas seções. Se, sem perda de geralidade, r_{1}\le r_{2}, então
M=\mu_{0}\,\frac{N_{1}N_{2}}{l}\,\pi r_{1}^{2}.

Passo 3

A força eletromotriz induzida no solenoide 2 pela variação de corrente em 1 é dada pela lei de Faraday com acoplamento mútuo:
\varepsilon_{2}=-M\,\frac{dI_{1}}{dt}.

Passo 4

Em regime senoidal permanente usamos fasores I_{1}=I_{1}e^{i\omega t}, I_{2}=I_{2}e^{i\omega t} e escrevemos as malhas:
\begin{cases} V= i\omega L_{1}\,I_{1} \;+\; i\omega M\,I_{2},\\\\ 0= i\omega M\,I_{1} \;+\;(i\omega L_{2}+R)\,I_{2}. \end{cases}

Passo 5

Da segunda equação isolamos
I_{2}=-\,\frac{i\omega M}{\,i\omega L_{2}+R\,}\;I_{1}.
Substituindo na primeira, obtemos
I_{1} =\frac{V}{\,i\omega L_{1} \;+\;\dfrac{\omega^{2}M^{2}}{\,i\omega L_{2}+R\,}\,}, \qquad I_{2} =-\,\frac{i\omega M}{\,i\omega L_{2}+R\,}\;I_{1}.

Resposta

(a)
L_{i}=\mu_{0}\,\frac{N_{i}^{2}}{l}\,\pi r_{i}^{2}, \qquad M=\mu_{0}\,\frac{N_{1}N_{2}}{l}\,\pi\min(r_{1},r_{2})^{2}.
(b)
\varepsilon_{2}=-M\,\frac{dI_{1}}{dt}.
(c)
I_{2}=-\,\frac{i\omega M}{\,i\omega L_{2}+R\,}\;I_{1}, \quad I_{1} =\frac{V_{0}e^{i\omega t}}{\,i\omega L_{1} + \dfrac{\omega^{2}M^{2}}{i\omega L_{2}+R}\,}.

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