Considere um fio cilíndrico infinito de raio
. Neste cilindro, existem quatro regiões com diferentes distribuições de corrente:
i) Na superfície do cilindro, sobre o raio
, há uma densidade de corrente superficial constante,
, que circula ao longo da superfície do cilindro;
ii) entre os raios
e
, com
, há uma densidade de corrente volumétrica constante,
;
iii) sobre a superfície de raio
há uma densidade de corrente superficial constante,
, que circula ao longo da superfície;
iv) dentro da região de raio
há uma densidade de corrente volumétrica constante,
.
Determine o campo magnético em todas as regiões deste fio cilíndrico. (
)
i) Na superfície do cilindro, sobre o raio
ii) entre os raios
iii) sobre a superfície de raio
iv) dentro da região de raio
Passo 1
O enunciado descreve um fio cilíndrico infinito de raio
com quatro distribuições de corrente concentradas em duas camadas volumétricas e duas camadas superficiais:
– Região iv: para há densidade volumétrica uniforme
ao longo do eixo (corrente na direção
).
– Sobre a superfície existe densidade de corrente superficial
(corrente em
).
– Região ii: para há densidade volumétrica uniforme
(também em
).
– Sobre a superfície existe densidade superficial
.
Queremos em cada região. Vamos usar a simetria cilíndrica e a Lei de Ampère:
– Região iv: para
– Sobre a superfície
– Região ii: para
– Sobre a superfície
Queremos
onde
é um círculo de raio
coaxial ao fio e
é a corrente total atravessada pelo disco de raio
.
Passo 2
Por simetria
só tem componente azimutal
e depende apenas de
. Num caminho circular de raio
,
Precisamos calcular
incluindo as densidades volumétricas interceptadas e as correntes das camadas superficiais cujos raios
ou
ficam dentro de
.
Passo 3
Região
.
O loop de raio intercepta apenas a densidade
no interior
.
Corrente volumétrica total
O loop de raio
Corrente volumétrica total
Da Lei de Ampère
na direção
.
Passo 4
Região
.
Agora o disco de raio intercepta:
Agora o disco de raio
-
em : . - camada superficial em
: . -
em :
Logo
e
Assim
Passo 5
Região
.
O loop engloba todas as correntes:
– até
:
– em
:
– em
:
– em
:
Então
O loop engloba todas as correntes:
–
–
–
–
Então
e
Resultando em
Resposta
Para
como direção de
, temos