Considere um fio cilíndrico infinito de raio a. Neste cilindro, existem quatro regiões com diferentes distribuições de corrente:
i) Na superfície do cilindro, sobre o raio a, há uma densidade de corrente superficial constante, K_{1}, que circula ao longo da superfície do cilindro;
ii) entre os raios a e b, com b<a, há uma densidade de corrente volumétrica constante, J_{1};
iii) sobre a superfície de raio b há uma densidade de corrente superficial constante, K_{2}, que circula ao longo da superfície;
iv) dentro da região de raio b há uma densidade de corrente volumétrica constante, J_{2}.
Determine o campo magnético em todas as regiões deste fio cilíndrico. ( 4,0 \mathrm{p} )

Passo 1

O enunciado descreve um fio cilíndrico infinito de raio a com quatro distribuições de corrente concentradas em duas camadas volumétricas e duas camadas superficiais:
– Região iv: para r<b há densidade volumétrica uniforme J_{2} ao longo do eixo (corrente na direção z).
– Sobre a superfície r=b existe densidade de corrente superficial K_{2} (corrente em z).
– Região ii: para b<r<a há densidade volumétrica uniforme J_{1} (também em z).
– Sobre a superfície r=a existe densidade superficial K_{1}.
Queremos B(r) em cada região. Vamos usar a simetria cilíndrica e a Lei de Ampère:
\oint_{\mathcal{C}} \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu_{0}\,I_{\mathrm{enc}},
onde \mathcal{C} é um círculo de raio r coaxial ao fio e I_{\mathrm{enc}} é a corrente total atravessada pelo disco de raio r.

Passo 2

Por simetria \mathbf{B} só tem componente azimutal \hat\varphi e depende apenas de r. Num caminho circular de raio r,
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=B_{\varphi}(r)\,(2\pi r).
Precisamos calcular I_{\mathrm{enc}}(r) incluindo as densidades volumétricas interceptadas e as correntes das camadas superficiais cujos raios b ou a ficam dentro de r.

Passo 3

Região 0\le r<b.
O loop de raio r intercepta apenas a densidade J_{2} no interior r'<r.
Corrente volumétrica total
I_{2}(r)=\int_{0}^{r}J_{2}\,2\pi r'\,dr' =J_{2}\,\pi r^{2}.
Da Lei de Ampère
B_{\varphi}(r)\,2\pi r=\mu_{0}\,J_{2}\,\pi r^{2} \quad\Longrightarrow\quad B_{\varphi}(r)=\frac{\mu_{0}J_{2}\,r}{2},
na direção \hat\varphi.

Passo 4

Região b<r<a.
Agora o disco de raio r intercepta:
  1. J_{2} em 0\le r'<b: I_{2}=J_{2}\,\pi b^{2}.
  2. camada superficial em r'=b: I_{K_{2}}=K_{2}\,(2\pi b).
  3. J_{1} em b\le r'<r:
I_{1}(r)=J_{1}\,\pi\bigl(r^{2}-b^{2}\bigr).
Logo
I_{\mathrm{enc}}=\pi J_{2}b^{2}+2\pi K_{2}b+\pi J_{1}(r^{2}-b^{2})
e
B_{\varphi}(r)\,2\pi r =\mu_{0}\bigl[\pi J_{2}b^{2}+2\pi K_{2}b+\pi J_{1}(r^{2}-b^{2})\bigr].
Assim
B_{\varphi}(r) =\frac{\mu_{0}}{2r}\bigl[J_{2}b^{2}+J_{1}(r^{2}-b^{2})+2K_{2}b\bigr].

Passo 5

Região r>a.
O loop engloba todas as correntes:
J_{2} até b: \pi J_{2}b^{2}
K_{2} em b: 2\pi K_{2}b
J_{1} em b<r'<a: \pi J_{1}(a^{2}-b^{2})
K_{1} em a: 2\pi K_{1}a
Então
I_{\mathrm{enc}} =\pi J_{2}b^{2}+2\pi K_{2}b+\pi J_{1}(a^{2}-b^{2})+2\pi K_{1}a
e
B_{\varphi}(r)\,2\pi r =\mu_{0}\bigl[\pi J_{2}b^{2}+2\pi K_{2}b+\pi J_{1}(a^{2}-b^{2})+2\pi K_{1}a\bigr].
Resultando em
B_{\varphi}(r) =\frac{\mu_{0}}{2r}\bigl[J_{2}b^{2}+J_{1}(a^{2}-b^{2})+2K_{2}b+2K_{1}a\bigr].

Resposta

Para \hat\varphi como direção de \mathbf{B}, temos
B_{\varphi}(r)= \begin{cases} \dfrac{\mu_{0}J_{2}\,r}{2}, & 0\le r<b,\\[6pt] \dfrac{\mu_{0}}{2r}\bigl[J_{2}b^{2}+J_{1}(r^{2}-b^{2})+2K_{2}b\bigr], & b<r<a,\\[6pt] \dfrac{\mu_{0}}{2r}\bigl[J_{2}b^{2}+J_{1}(a^{2}-b^{2})+2K_{2}b+2K_{1}a\bigr], & r>a. \end{cases}]

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