A expressão para a lei de Gauss é dada por
, onde a carga
é a carga que está fora de uma superfície Gaussiana definida para o cálculo do fluxo.
Passo 1
O enunciado apresenta a lei de Gauss para o campo elétrico, que afirma que o fluxo total de
através de uma superfície fechada
vale
onde
é a carga envolvida (isto é, enclausurada) pela superfície
. Para demonstrar essa relação, vamos usar o Teorema da Divergência e a equação de Maxwell–Gauss em forma diferencial,
.
Passo 2
Aplicamos o Teorema da Divergência, que converte a integral de fluxo sobre a superfície
em uma integral de volume sobre a região
limitada por
. Assim,
Passo 3
Pela equação de Maxwell–Gauss em região livre de materiais,
onde
é a densidade volumétrica de carga naquele ponto.
Passo 4
Substituindo no resultado do Teorema da Divergência,
Mas
é justamente a carga total enclausurada pela superfície
, que chamamos de
.
Passo 5
Concluímos que
ou seja, o fluxo do campo elétrico só depende da carga que está dentro da superfície Gaussiana.