A expressão para a lei de Gauss é dada por \phi_{\vec{E}_{\text {Total }}}=\oint \vec{E}_{\text {Total }} \cdot d \vec{A}=\frac{q_{\text {env }}}{\epsilon_{0}}, onde a carga q_{\text {env }} é a carga que está fora de uma superfície Gaussiana definida para o cálculo do fluxo.

Passo 1

O enunciado apresenta a lei de Gauss para o campo elétrico, que afirma que o fluxo total de \vec{E}_{\text{Total}} através de uma superfície fechada S vale
\phi_{\vec{E}_{\text{Total}}}=\oint_{S}\vec{E}_{\text{Total}}\cdot d\vec{A}=\frac{q_{\text{env}}}{\epsilon_{0}},
onde q_{\text{env}} é a carga envolvida (isto é, enclausurada) pela superfície S. Para demonstrar essa relação, vamos usar o Teorema da Divergência e a equação de Maxwell–Gauss em forma diferencial, \nabla\cdot\vec{E}=\rho/\epsilon_{0}.

Passo 2

Aplicamos o Teorema da Divergência, que converte a integral de fluxo sobre a superfície S=\partial V em uma integral de volume sobre a região V limitada por S. Assim,
\oint_{S}\vec{E}_{\text{Total}}\cdot d\vec{A} =\int_{V}\bigl(\nabla\cdot\vec{E}_{\text{Total}}\bigr)\,dV.

Passo 3

Pela equação de Maxwell–Gauss em região livre de materiais,
\nabla\cdot\vec{E}_{\text{Total}}=\frac{\rho}{\epsilon_{0}},
onde \rho é a densidade volumétrica de carga naquele ponto.

Passo 4

Substituindo no resultado do Teorema da Divergência,
\oint_{S}\vec{E}_{\text{Total}}\cdot d\vec{A} =\int_{V}\frac{\rho}{\epsilon_{0}}\,dV =\frac{1}{\epsilon_{0}}\int_{V}\rho\,dV.
Mas \displaystyle\int_{V}\rho\,dV é justamente a carga total enclausurada pela superfície S, que chamamos de q_{\text{env}}.

Passo 5

Concluímos que
\oint_{S}\vec{E}_{\text{Total}}\cdot d\vec{A} =\frac{q_{\text{env}}}{\epsilon_{0}},
ou seja, o fluxo do campo elétrico só depende da carga que está dentro da superfície Gaussiana.

Resposta

\phi_{\vec{E}_{\text{Total}}}=\oint_{S}\vec{E}_{\text{Total}}\cdot d\vec{A} =\frac{q_{\text{env}}}{\epsilon_{0}}.

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