Considere dois tanques em série. O modelo descrevendo esse sistema é dado por
[c d h1d t d h2d t ]=[c f1(h1, h2, F) f2(h1, h2, F) ]=[c FA1-beta1A1 raizh1-h2 beta1A2 raizh1-h2-beta2A2 raizh2 ]
Sabendo-se que os parâmetros do modelo são dados por: beta1=2,5 f t^2,5min , beta2=5raiz6 f t^2,5min , A1=5 f t^2, A2=10 f t^2.
Apresente o modelo linearizado em termos das variáveis desvios do estado estacionário. Quais as matrizes A, B, C e D quando se deseja conhecer h2?

Passo 1

Beleza, recapitulando: a gente tem um sistema de dois tanques em série cuja dinâmica é
dot h1 ;=;FA1-beta1A1raiz,h1-h2,,[6pt] dot h2 ;=;beta1A2raiz,h1-h2,-beta2A2raiz,h2,
Os parâmetros são
, , , .
O que vamos fazer:
  1. Encontrar o ponto de equilíbrio para uma vazão constante .
  2. Linearizar o sistema em torno desse ponto usando a expansão de Taylor (jacobiana).
  3. Montar o modelo em espaço de estados de variáveis-desvios .
  4. Extrair as matrizes , lembrando que queremos só na saída.

Passo 2

Teoria de ponto de equilíbrio: a gente define 0=FA1-beta1A1raizh1^0-h2^0 ;Longrightarrow; FA1=beta1A1raizDe e 0=beta1A2raizDe e resolve para h2^0=l(tfracFbeta2r)^2, De.
1)
onde chamei .
2)
Logo:

Passo 3

Agora a linearização: definimos f1=tfracFA1-tfracbeta1A1raizh1-h2, f2=tfracbeta1A2raizh1-h2-tfracbeta2A2raizh2 (aqui partial f1partial h1 =-beta12A1raizDe é a vazão no ponto de operação).
A matriz partial f2partial h1 =+beta1^22A2,F, partial f2partial h2 =-beta1^22A2,F;-;beta2^22A2,F =-beta1^2+beta2^22A2,F é a jacobiana A =1F -dfracbeta1^22A1&dfracbeta1^22A1[6pt] dfracbeta1^22A2&-dfracbeta1^2+beta2^22A2 avaliada em .
As derivadas:
Cálculos rápidos (usando , ) dão:
Logo

Passo 4

A matriz partial f1partial F=1A1, partial f2partial F=0 ;Longrightarrow; B=1/A10 é em equilíbrio:
Como a saída é só , escolhemos e .

Resposta

Com os valores A =1F -dfrac(2.5)^22cdot5&dfrac(2.5)^22cdot5[8pt] dfrac(2.5)^22cdot10&-dfrac(2.5)^2+(5/raiz6)^22cdot10 = 1F -0.625&0.625[4pt] 0.3125&-0.5208 , B=0.20, C=0&1, D=0 , temos
[
\mathbf A
=\frac1F

\frac1F
,
\quad
\mathbf B= ,
\quad
\mathbf C= ,
\quad
\mathbf D= .
]

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