Considere dois tanques em série. O modelo descrevendo esse sistema é dado por
[c d h1d t d h2d t ]=[c f1(h1, h2, F) f2(h1, h2, F) ]=[c FA1-beta1A1 raizh1-h2 beta1A2 raizh1-h2-beta2A2 raizh2 ]
Sabendo-se que os parâmetros do modelo são dados por: beta1=2,5 f t^2,5min , beta2=5raiz6 f t^2,5min , A1=5 f t^2, A2=10 f t^2. Qual a solução do estado estacionário para uma entrada de F=5 ft^3 / min?

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é achar o nível de água em cada tanque quando tudo “para de mudar” – isso é o tal do estado estacionário. A matéria é de sistemas dinâmicos contínuos: a gente tem duas equações diferenciais que descrevem como mudam os níveis e . Para resolver, vamos precisar:
  • Entender que estado estacionário rola quando e .
  • Usar as fórmulas dadas:

  • Os valores numéricos: , , , , .

Passo 2

Estado estacionário = derivadas iguais a zero. Então escrevemos:
0=dfracFA1-dfracbeta1A1raizh1-h2,[6pt] 0=dfracbeta1A2raizh1-h2-dfracbeta2A2raizh2
Aí simplificamos cada uma.

Passo 3

Da primeira equação:
FA1=beta1A1,raizh1-h2 Longrightarrow F=beta1,raizh1-h2
Logo
raizh1-h2=Fbeta1 Longrightarrow h1-h2=l(Fbeta1r)^2
Substituindo h1-h2=l(52.5r)^2=2^2=4 e :

Passo 4

Da segunda equação:
beta1raizh1-h2=beta2raizh2 Longrightarrow raizh2=beta1beta2,raizh1-h2
Mas pela conta acima raizh2=beta1beta2,Fbeta1 =Fbeta2 Longrightarrow h2=l(Fbeta2r)^2 . Substituindo:
h2=l(55/raiz6r)^2=(raiz6)^2=6
Com e :
E como , temos .

Resposta

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