For the equation
Discuss the qualitative form of the response of this system (independent of the input forcing) over the range,
. Specify values of
where the response will converge and where it will not. Write the form of the response without evaluating any coefficients.
Discuss the qualitative form of the response of this system (independent of the input forcing) over the range,
Passo 1
Beleza, o enunciado pede que a gente estude como se comporta a “resposta natural” (ou livre) do sistema
mas só olhando o homogeneização, ou seja, descartando o forçamento
Isso é matéria de equações diferenciais de 2ª ordem e teoria de sistemas lineares: vamos montar a equação característica, achar as raízes e ver se elas têm parte real negativa (converge), zero (oscila), ou positiva (explode).
Passo 2
Escreve-se a equação característica zerando o forçamento:
Aqui
Passo 3
Calcula o discriminante
Dependendo de
•
•
•
Passo 4
Encontra as raízes gerais:
Para saber se converge, a gente olha a parte real de
– Se Re
– Se Re
– Se Re
Passo 5
Classificando no intervalo
:
-
quando . - Se
: então
e , logo .
Ambas as raízes têm parte real negativa ⇒ resposta over-damped e converge. - Se
: então
e , logo ambas as raízes são positivas ⇒ explode.
- Se
-
em ou . -
: duas vezes ⇒ decai exponencial e converge (amortecimento crítico). -
: duplo ⇒ cresce como , explode.
-
-
quando . - As raízes são
. - Se
, Re ⇒ oscila com decaimento (underdamped) e converge. - Se
, Re ⇒ oscila pure sin/cos e não converge nem diverge. - Se
, Re ⇒ oscila e cresce, diverge.
- As raízes são
Resposta
- Condições de convergência (todas as raízes têm Re
):
. - Condições de não convergência:
(para oscila sem decair; para diverge). - Formas gerais da resposta livre
, sem avaliar constantes:
a) Overdamped (): b) Crítico ( ou ): c) Underdamped ( ):