For the equation d^2 yd t^2+K d yd t+4 y=u
Discuss the qualitative form of the response of this system (independent of the input forcing) over the range, -10 <= K <= 10. Specify values of K where the response will converge and where it will not. Write the form of the response without evaluating any coefficients.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede que a gente estude como se comporta a “resposta natural” (ou livre) do sistema
d^2ydt^2+Kdydt+4y= u(t)
mas só olhando o homogeneização, ou seja, descartando o forçamento .
Isso é matéria de equações diferenciais de 2ª ordem e teoria de sistemas lineares: vamos montar a equação característica, achar as raízes e ver se elas têm parte real negativa (converge), zero (oscila), ou positiva (explode).

Passo 2

Escreve-se a equação característica zerando o forçamento:
s^2 + K,s + 4 = 0
Aqui são as raízes que “mandam” a dinâmica.

Passo 3

Calcula o discriminante
De
Dependendo de temos:
⇒ raízes reais e distintas
⇒ raízes reais iguais (crítico)
⇒ raízes complexas conjugadas (subamortecido)

Passo 4

Encontra as raízes gerais:
s1,2 = -K pm raizK^2-162
Para saber se converge, a gente olha a parte real de :
– Se Re , cada termo .
– Se Re , fica oscilando sem decair.
– Se Re , explode.

Passo 5

Classificando no intervalo :
  1. quando .
    • Se : então
      e , logo .
      Ambas as raízes têm parte real negativa ⇒ resposta over­-damped e converge.
    • Se : então
      e , logo ambas as raízes são positivas ⇒ explode.
  2. em ou .
    • : duas vezes ⇒ decai exponencial e converge (amortecimento crítico).
    • : duplo ⇒ cresce como , explode.
  3. quando .
    • As raízes são .
    • Se , Re ⇒ oscila com decaimento (under­damped) e converge.
    • Se , Re ⇒ oscila pure sin/cos e não converge nem diverge.
    • Se , Re ⇒ oscila e cresce, diverge.

Resposta

  1. Condições de convergência (todas as raízes têm Re yh(t)=C1 e^-K+raizK^2-162,t +C2 e^-K-raizK^2-162,t ):
    yh(t)=(C1 + C2,t),e^s,t, s=-2,&K=4,+2,&K=-4 .
  2. Condições de não convergência:
    yh(t) =e^-tfracK2tl[ C1cos!l(tfracraiz16-K^22,tr) + C2sin!l(tfracraiz16-K^22,tr) r] (para oscila sem decair; para diverge).
  3. Formas gerais da resposta livre , sem avaliar constantes:
    a) Over­damped ( ): b) Crítico ( ou ): c) Under­damped ( ):

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