Supor uma mistura composta de três componentes \mathrm{a}, \mathrm{b} \mathrm{e} \mathrm{c} com as respectivas quantidades de matéria: 10 \mathrm{kmol}, 20 \mathrm{kmol} e 50 kmol . A composição da mistura estará definida se expressarmos a razão molar, tomando como base o composto c. Determinar as razões molares de a e de b em função de c assim como as frações molares de a, b e c em relação à mistura.

Passo 1

O enunciado fornece as quantidades de matéria dos três componentes:
  • n_{a}=10\\ \mathrm{kmol}
  • n_{b}=20\\ \mathrm{kmol}
  • n_{c}=50\\ \mathrm{kmol}
O que é pedido:
  • Determinar as razões molares de a e de b tomando como base c; ou seja calcular \dfrac{n_{a}}{n_{c}} e \dfrac{n_{b}}{n_{c}}.
  • Determinar as frações molares de a, b e c em relação à mistura; ou seja calcular x_{a}, x_{b} e x_{c}, onde cada x_{i}=\dfrac{n_{i}}{\sum_j n_{j}}.

Passo 2

Explicando o conceito de razão molar (didático e direto):
  • A razão molar de um componente i em relação a um componente base k é
r_{i/k}=\frac{n_{i}}{n_{k}}.
  • Aqui n_{i} e n_{k} são quantidades de matéria (em \mathrm{kmol}, por exemplo). Como é razão, as unidades cancelam e r_{i/k} é adimensional.
  • Vamos aplicar essa fórmula para i=a e i=b com base k=c.

Passo 3

Cálculo da razão molar de a em relação a c:
\frac{n_{a}}{n_{c}}=\frac{10\\ \mathrm{kmol}}{50\\ \mathrm{kmol}}=\frac{10}{50}.
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 10:
\frac{10}{50}=\frac{1}{5}=0{,}2.
Logo a razão molar \dfrac{n_{a}}{n_{c}} vale \dfrac{1}{5}=0{,}2.

Passo 4

Cálculo da razão molar de b em relação a c:
\frac{n_{b}}{n_{c}}=\frac{20\\ \mathrm{kmol}}{50\\ \mathrm{kmol}}=\frac{20}{50}.
Simplificando dividindo por 10:
\frac{20}{50}=\frac{2}{5}=0{,}4.
Logo a razão molar \dfrac{n_{b}}{n_{c}} vale \dfrac{2}{5}=0{,}4.

Passo 5

Explicando o conceito de fração molar:
  • A fração molar do componente i é definida por
x_{i}=\frac{n_{i}}{\sum_{j} n_{j}},
onde \sum_{j} n_{j} é a soma das quantidades de todos os componentes da mistura.
  • As frações molares são adimensionais e satisfazem \sum_{i} x_{i}=1. Vamos calcular o total e depois cada x.

Passo 6

Cálculo do total de quantidade de matéria:
n_{\text{total}}=n_{a}+n_{b}+n_{c}=10\\ \mathrm{kmol}+20\\ \mathrm{kmol}+50\\ \mathrm{kmol}=80\\ \mathrm{kmol}.
Agora as frações molares:
Para a:
x_{a}=\frac{n_{a}}{n_{\text{total}}}=\frac{10}{80}=\frac{1}{8}=0{,}125.
Para b:
x_{b}=\frac{n_{b}}{n_{\text{total}}}=\frac{20}{80}=\frac{1}{4}=0{,}25.
Para c:
x_{c}=\frac{n_{c}}{n_{\text{total}}}=\frac{50}{80}=\frac{5}{8}=0{,}625.

Passo 7

Verificação rápida (propriedade das frações molares):
x_{a}+x_{b}+x_{c}=0{,}125+0{,}25+0{,}625=1,
ou seja, as frações molares somam 1 como esperado.

Passo 8

Resumo e dica para a prova (curto e prático):
  • Razões molares são calculadas dividindo as quantidades; simplifique frações quando possível para obter formas fracionárias e decimais fáceis.
  • Frações molares exigem somar todas as quantidades primeiro; sempre confira que somam 1.

Resposta

\dfrac{n_{a}}{n_{c}}=\dfrac{1}{5}=0{,}2
\dfrac{n_{b}}{n_{c}}=\dfrac{2}{5}=0{,}4
x_{a}=\dfrac{1}{8}=0{,}125
x_{b}=\dfrac{1}{4}=0{,}25
x_{c}=\dfrac{5}{8}=0{,}625

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