Considere que \dot{y} representa a derivada temporal da função y, \dot{y} \equiv \frac{d y}{d t}. Determine \dot{y} para os casos apresentados:
Seja y(t)=4 \cos \left(\omega t^{2}\right), determine \dot{y} para t=\pi / 4;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada temporal de y(t)=4\cos\bigl(\omega t^{2}\bigr) e, em seguida, avaliar esse resultado em t=\pi/4. O conteúdo principal é a regra da cadeia para derivadas de funções compostas.

Passo 2

Aplicamos a regra da cadeia em
y(t)=4\cos\bigl(\omega t^{2}\bigr).
Primeiro derivamos por fora: a derivada de \cos(u) em relação a u é -\sin(u). Depois multiplicamos pela derivada de u=\omega t^{2} em relação a t, que é 2\omega t. Logo,
\dot{y}(t) =4\cdot\bigl(-\sin(\omega t^{2})\bigr)\cdot(2\omega t) =-8\,\omega\,t\,\sin\bigl(\omega t^{2}\bigr).

Passo 3

Agora basta avaliar em t=\pi/4. Substituindo t=\pi/4 em \dot{y}(t):
\dot{y}\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) =-8\,\omega\,\frac{\pi}{4}\, \sin\!\Bigl(\omega\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)^{2}\Bigr) =-2\pi\,\omega\,\sin\!\Bigl(\omega\,\frac{\pi^{2}}{16}\Bigr).

Resposta

\dot{y}\Bigl(\tfrac{\pi}{4}\Bigr) =-2\pi\,\omega\,\sin\!\Bigl(\frac{\omega\pi^{2}}{16}\Bigr).

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