Obtenha a expressão da integral I=\int y(t) d t para cada função abaixo. Também calcule os respectivos valores para os intervalos indicados:
Considere y(t)=t^{2}+t^{3 / 2}-5. Qual será a expressão da sua integral indefinida? Qual será o valor da integral definida no intervalo entre t=2 e t=6 ?

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a primitiva (integral indefinida) de
y(t)=t^2 + t^{3/2} -5
e em seguida calcular a integral definida de y(t) no intervalo de t=2 a t=6. Vamos usar a regra de potência para cada termo e depois o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Calcular a antiderivada de cada termo de y(t):
  1. Para t^2, a primitiva é
\int t^2 \,dt = \frac{t^3}{3}.
  1. Para t^{3/2}, aplicamos
\int t^{3/2}\,dt = \frac{t^{(3/2)+1}}{\tfrac{3}{2}+1} = \frac{t^{5/2}}{\tfrac{5}{2}} = \frac{2}{5}\,t^{5/2}.
  1. Para a constante -5, temos
\int (-5)\,dt = -5t.

Passo 3

Somando as três primitivas, obtemos a integral indefinida
I(t)=\int y(t)\,dt = \frac{t^3}{3} \;+\;\frac{2}{5}\,t^{5/2}\;-\;5t \;+\;C.

Passo 4

Para a integral definida de t=2 até t=6, definimos
F(t)=\frac{t^3}{3} + \frac{2}{5}\,t^{5/2} -5t
e calculamos F(6) e F(2):
F(6) = \frac{6^3}{3} + \frac{2}{5}\,6^{5/2} -5\cdot6 = 72 + \frac{2}{5}\cdot36\sqrt{6} -30 = 42 + \frac{72}{5}\sqrt{6}.
F(2) = \frac{2^3}{3} + \frac{2}{5}\,2^{5/2} -5\cdot2 = \frac{8}{3} + \frac{2}{5}\cdot4\sqrt{2} -10 = -\frac{22}{3} + \frac{8}{5}\sqrt{2}.

Passo 5

A integral definida é
\int_{2}^{6}y(t)\,dt =F(6)-F(2) = \Bigl(42 + \tfrac{72}{5}\sqrt{6}\Bigr) - \Bigl(-\tfrac{22}{3} + \tfrac{8}{5}\sqrt{2}\Bigr) = \frac{148}{3} + \frac{72}{5}\sqrt{6} - \frac{8}{5}\sqrt{2}.

Resposta

A integral indefinida é
I(t)=\frac{t^3}{3} + \frac{2}{5}\,t^{5/2} -5t + C.
O valor da integral definida de t=2 a t=6 é
\frac{148}{3} \;+\;\frac{72}{5}\sqrt{6}\;-\;\frac{8}{5}\sqrt{2}.

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