Considere duas cargas puntiformes positivas iguais a q situadas sobre o eixo y nas posições y= L e y=-L. Como referência, o potencial a uma distância infinita dessas cargas é nulo.
a) Mostre que o pontencial elétrico sobre um ponto P qualquer do eixo x é dado por:
V=q2 pi varepsilon0 raizL^2+x^2
b) Determine o pontencial para x gg L.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos duas cargas pontuais iguais, cada uma de carga q, posicionadas em y=+L e y=-L. A gente precisa achar o potencial elétrico em um ponto P que está no eixo x (distância x da origem). Então o conteúdo é eletrostática básica: potencial de carga pontual e soma de potenciais. Para resolver isso, vamos usar:
  1. A fórmula do potencial de uma carga pontual,
  2. A ideia de que o potencial total é a soma dos potenciais de cada carga,
  3. (para a parte b) uma expansão para xgg L (binomial/Taylor).

Passo 2

Primeiro, lembrando que o potencial gerado por uma carga pontual q a uma distância r é
Vpontual=14pivarepsilon0,qr,
No nosso ponto P do eixo x, a distância até cada carga (que está a y=+L ou y=-L) é a mesma:
r=raizx^2+L^2,
Como as duas cargas são iguais e geram potencias iguais, a gente soma os dois:
V=V1+V2 =14pivarepsilon0qraizx^2+L^2 +14pivarepsilon0qraizx^2+L^2 =24pivarepsilon0,qraizx^2+L^2 =q2pivarepsilon0,raizx^2+L^2,

Passo 3

Agora para xgg L, a gente faz uma expansão em série para a raiz:
raizx^2+L^2=xraiz1+L^2x^2 approx x(1+12L^2x^2) =x+L^22x,
Então o potencial
V=q2pivarepsilon0,raizx^2+L^2 approxq2pivarepsilon0,1,x+L^22x, approxq2pivarepsilon0,1x(1-L^22x^2) =q2pivarepsilon0,x(1-L^22x^2),

Resposta

a) V=q2pivarepsilon0,raizx^2+L^2.
b) Para xgg L,
Vapproxq2pivarepsilon0,xl(1-L^22x^2r),

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