O plano ax+by+cz=d é a interface entre dois materiais magnéticos com permeabilidades relativas mu11=2 e mu2=3, onde a origem pertence ao meio 1 . Considerando que na região 1 exista uma densidade de fluxo magnético uniforme dada por barB1=10 barax-15 baray+30 baraz(mWb / m^2), calcule o ângulo que o campo barB2 do meio 2 faz com a normal a interface. Dados: a=2, b=3, c=5 e d=1.

Passo 1

Então, o enunciado diz o seguinte: temos um plano
2x+3y+5z=1
que separa dois materiais com permeabilidades relativas mu1=2 (onde está a origem) e mu2=3. No meio 1 o campo de fluxo é
B1=10, ax-15, ay+30, az(mWb/m^2)
A gente precisa achar o ângulo que o B2 (no meio 2) faz com a normal à interface.
Conteúdo envolvido: eletromagnetismo básico, condições de contorno de B e H, decomposição de vetor em componente normal e tangencial, e trigonometria pra achar ângulo.

Passo 2

Teoria de contorno que vamos usar:
  1. A componente normal de B é contínua (não há “carga magnética” na interface): B1n=B2n,
    2) A componente tangencial de H é contínua (sem corrente de superfície):
    H1t=H2tLongrightarrow B1tmu1=B2tmu2,
E como H= B/(mu0mur), em termos de mur a relação acima vira diretamente ;B2t=(mu2/mu1),B1t,.

Passo 3

Vamos achar 1) a direção da normal e 2) as componentes normal e tangencial de B1.
  1. O vetor normal (não unitário) é n=(2,3,5).
    ‣ Módulo: | n|=raiz2^2+3^2+5^2=raiz38.
    ‣ Versor normal: n= n/raiz38.
  2. Componente normal de B1:
B1n= B1cdot n =10cdot2+(-15)cdot3+30cdot5raiz38 =20-45+150raiz38 =125raiz38,
  1. Componente tangencial de B1:
B1t= B1-B1n, n,,
mas só precisamos do módulo
$$B_{1t}=\sqrt{|\mathbf B_1|2-B_{1n}2}
=\sqrt{(102+(-15)2+302)-\Bigl(\tfrac{125}{\sqrt{38}}\Bigr)2}
\approx28.53,. $$

Passo 4

Aplicando as condições de contorno:
  • Componente normal continua: B2n=B1n=125raiz38approx20.27,
    - Componente tangencial pula conforme mu:
    $$B_{2t}=\frac{\mu_2}{\mu_1},B_{1t}=\frac{3}{2}\times28.53\approx42.80,. $$

Passo 5

Agora desenha o triângulo com B2n ao lado adjacente e B2t ao lado oposto em relação ao ângulo theta2 (entre B2 e n).
tantheta2=B2tB2n =42.8020.27approx2.11Longrightarrow theta2=arctan(2.11)approx64.3^circ,

Resposta

O campo B2 faz um ângulo de aproximadamente 64.3^circ com a normal à interface.

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