O plano ax+by+cz=d é a interface entre dois materiais magnéticos com permeabilidades relativas mu11=2 e mu2=3, onde a origem pertence ao meio 1 . Considerando que na região 1 exista uma densidade de fluxo magnético uniforme dada por barB1=10 barax-15 baray+30 baraz(mWb / m^2), calcule o campo barB2. Dados: a=2, b=3, c=5 e d=1.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que o plano
2x+3y+5z=1
é a fronteira entre dois materiais magnéticos: o meio 1 (para o qual a origem pertence) com permeabilidade relativa bar B1 = 10,hat ax ;-;15,hat ay;+;30,hat az (mWb/m(^2)) e o meio 2 com . No meio 1 o vetor densidade de fluxo é
A tarefa é achar no meio 2, sabendo as condições de contorno magnéticas: continuidade da componente normal de e continuidade da componente tangencial de .
Para isso vamos precisar:
  1. achar o vetor normal ao plano e torná-lo unitário;
  2. decompor em parte normal e parte tangencial;
  3. usar as condições de contorno para obter ;
  4. somar normal + tangencial em .

Passo 2

Primeiro, o vetor normal (não unitário) ao plano é
n = 2,hat ax + 3,hat ay + 5,hat az
O comprimento dele é
| n| = raiz2^2 + 3^2 + 5^2 = raiz38
Então o versor normal é
hat n = 1raiz38,(2,hat ax + 3,hat ay + 5,hat az)

Passo 3

Decompondo bar B1n = (bar B1cdothat n),hat n em normal e tangencial:
  1. componente normal (vetor)
bar B1cdothat n = 1raiz38l(10cdot2 + (-15)cdot3 + 30cdot5r) = 125raiz38
Calculemos o escalar bar B1n = 125raiz38;hat n = 12538,(2,hat ax + 3,hat ay + 5,hat az) :
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Passo 4

A parte tangencial é o resto:
bar B1t = bar B1 - bar B1n = l[10,,-15,,30r] - 12538,[2,3,5]
Fazendo as contas em cada componente (tudo em mWb/m²), dá
bar B1t = l[,65/19,,-945/38,;515/38r]

Passo 5

As condições de contorno dizem:
  1. bar B2tmur2 ;=;bar B1tmur1 ;Longrightarrow; bar B2t = mur2mur1;bar B1t = 32,bar B1t (continuidade de ).
  2. , mas , então

Passo 6

Calculando:
bar B2n = 12538,[2,3,5], bar B2t = 32,l[,65/19,,-945/38,;515/38r]
Somando normal + tangencial componente a componente, chega-se a
bar B2 = l[tfrac44538,;-tfrac208576,;tfrac279576r] ;approx;l[11,71,;-27,43,;36,80r] ;mWb/m^2

Resposta

boxed bar B2 = 44538,hat ax ;-;208576,hat ay ;+;279576,hat az ;approx; l[11,71,,-27,43,,36,80r];mWb/m^2

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