Considere duas cascas esféricas finas, concêntricas, condutoras. A casca interna tem raio a=15 \mathrm{~cm} e carga 10 nC . A casca externa tem raio b=30 \mathrm{~cm} e carga -15 nC . Forneça expressões para o campo elétrico e o potencial elétrico para as diferentes regiões: (a) r<15 \mathrm{~cm}; (b) 15 \mathrm{~cm}<r<30 \mathrm{~cm}; (c) r>30 \mathrm{~cm}. Em todos os casos, considere V=0 em r=\infty.

Passo 1

O enunciado descreve duas cascas esféricas condutoras e concêntricas, com raios
a = 0{,}15\text{ m},\quad b = 0{,}30\text{ m},
e cargas
Q_{1} = 10\text{ nC},\quad Q_{2} = -15\text{ nC}.
Queremos o campo elétrico E(r) e o potencial elétrico V(r) nas regiões (a) r<a, (b) a<r<b e (c) r>b, usando Lei de Gauss e a condição V(\infty)=0.

Passo 2

Região r<a: todo o volume até r<a não encerra nenhuma carga (as cargas residem nas superfícies das cascas).
Portanto, pela Lei de Gauss,
E(r)=0\quad(r<a).
Como E=0, o potencial é constante e vale o mesmo que em r=a. Calculamos
V(a)=\int_{\infty}^{a}E\cdot\mathrm{d}r =\int_{\infty}^{b}\frac{Q_{1}+Q_{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\mathrm{d}r +\int_{b}^{a}\frac{Q_{1}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\mathrm{d}r =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\Bigl(\frac{Q_{1}}{a}+\frac{Q_{2}}{b}\Bigr).
Logo,
V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\Bigl(\frac{Q_{1}}{a}+\frac{Q_{2}}{b}\Bigr)\quad(r<a).

Passo 3

Região a<r<b: uma superfície gaussiana de raio r envolve apenas Q_{1}.
Pela Lei de Gauss,
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Q_{1}}{r^{2}}\quad(a<r<b).
Para o potencial, integramos de \infty até r:
V(r) =\int_{\infty}^{b}\frac{Q_{1}+Q_{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r'^{2}}\mathrm{d}r' +\int_{b}^{r}\frac{Q_{1}}{4\pi\varepsilon_{0}r'^{2}}\mathrm{d}r' =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\Bigl(\frac{Q_{2}}{b}+\frac{Q_{1}}{r}\Bigr).

Passo 4

Região r>b: a superfície gaussiana envolve Q_{1}+Q_{2}.
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Q_{1}+Q_{2}}{r^{2}}\quad(r>b),
e impondo V(\infty)=0, o potencial é
V(r)=\int_{\infty}^{r}\frac{Q_{1}+Q_{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r'^{2}}\mathrm{d}r' =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Q_{1}+Q_{2}}{r}.

Resposta

(a) r<15\text{ cm}:
E(r)=0, \quad V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\Bigl(\frac{Q_{1}}{a}+\frac{Q_{2}}{b}\Bigr).
(b) 15\text{ cm}<r<30\text{ cm}:
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Q_{1}}{r^{2}}, \quad V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\Bigl(\frac{Q_{2}}{b}+\frac{Q_{1}}{r}\Bigr).
(c) r>30\text{ cm}:
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Q_{1}+Q_{2}}{r^{2}}, \quad V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Q_{1}+Q_{2}}{r}.

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