Um próton atravessa uma região de campo magnético uniforme \vec{B}=\langle 10 ; 20 ; 30\rangle m T. No tempo t_{1}, o próton tem uma velocidade \vec{v}=\left\langle v_{x} ; v_{y} ; 2\right\rangle \mathrm{km} / \mathrm{s} e a força magnética sobre o próton é \vec{F}_{B}=\left\langle 4 \times 10^{-17} ;-2 \times 10^{-17} ; 0\right\rangle N. Nesse instante, qual o valor de v_{x} e v_{y} ?

Passo 1

O enunciado dá um próton (carga q=+1,6\times10^{-19}\,\mathrm{C}) que se desloca com velocidade
\vec{v}=\langle v_x;v_y;2\rangle, \mathrm{km/s} em uma região de campo magnético uniforme
\vec{B}=\langle10;20;30\rangle, \mathrm{mT}, e sob ação da força
\vec{F}_B=\langle4\times10^{-17};-2\times10^{-17};0\rangle, \mathrm{N}.
Queremos encontrar v_x e v_y.
O conteúdo usado será a lei da força magnética
\vec{F}_B = q\,\vec{v}\times\vec{B} e cálculo de produto vetorial.

Passo 2

Convertemos unidades para o SI:
\vec B=(10,20,30)\times10^{-3}\,\mathrm{T}=(0{,}01,0{,}02,0{,}03)\,\mathrm{T}.
A velocidade em \mathrm{m/s} é
\vec v=(1000\,v_x,\;1000\,v_y,\;2000)\,\mathrm{m/s}.

Passo 3

Escrevemos a fórmula da força magnética:
\vec F_B \;=\; q\,\bigl(\vec v\times\vec B\bigr).

Passo 4

Calculamos o produto vetorial \vec v\times\vec B:
\vec v\times\vec B = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ 1000\,v_x & 1000\,v_y & 2000\\\\ 0{,}01 & 0{,}02 & 0{,}03 \end{vmatrix} = \bigl\langle 1000\,v_y\cdot0{,}03 - 2000\cdot0{,}02,\; 2000\cdot0{,}01 - 1000\,v_x\cdot0{,}03,\; 1000\,v_x\cdot0{,}02 - 1000\,v_y\cdot0{,}01 \bigr\rangle.
Simplificando:
\vec v\times\vec B =\langle 30\,v_y - 40,\;20 - 30\,v_x,\;20\,v_x - 10\,v_y\rangle.

Passo 5

Igualamos q vezes esse vetor aos componentes dados de \vec F_B:
Componente x:
q\,(30\,v_y - 40) = 4\times10^{-17} \quad\Longrightarrow\quad 30\,v_y - 40 = \frac{4\times10^{-17}}{1{,}6\times10^{-19}} = 250 \quad\Longrightarrow\quad v_y = \frac{250 + 40}{30} = \frac{290}{30} = \frac{29}{3}.
Componente y:
q\,(20 - 30\,v_x) = -2\times10^{-17} \quad\Longrightarrow\quad 20 - 30\,v_x = \frac{-2\times10^{-17}}{1{,}6\times10^{-19}} = -125 \quad\Longrightarrow\quad 30\,v_x = 20 + 125 = 145 \quad\Longrightarrow\quad v_x = \frac{145}{30} = \frac{29}{6}.
A componente z dá zero como conferência, pois
20\,v_x -10\,v_y=20\cdot\frac{29}{6}-10\cdot\frac{29}{3}=0.

Resposta

v_x = \frac{29}{6}\,\mathrm{km/s}\approx4{,}83\,\mathrm{km/s}, \quad v_y = \frac{29}{3}\,\mathrm{km/s}\approx9{,}67\,\mathrm{km/s}.

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