Considere duas curvas:
e
. Ambas projetam-se no plano
como uma circunferência. Qual diferença principal há entre elas no espaço?
Considere duas curvas:
e
. Ambas projetam-se no plano
como uma circunferência. Qual diferença principal há entre elas no espaço?
Considere duas curvas:
Passo 1
O enunciado dá duas curvas no espaço
e
,
e observa que ambas, ao serem projetadas no plano , formam a circunferência unitária.
O conteúdo aqui é geometria de curvas em , em particular hélices, e vamos comparar como cada uma “sobe” ao longo de
.
e observa que ambas, ao serem projetadas no plano
O conteúdo aqui é geometria de curvas em
Passo 2
Analisando a projeção no plano
, basta olhar às duas primeiras componentes:
.
Isso mostra que ambas descrevem exatamente o mesmo círculo de raio 1 em , independente do valor de
.
Isso mostra que ambas descrevem exatamente o mesmo círculo de raio 1 em
Passo 3
No espaço, a diferença aparece na componente
.
Para , temos
Para
enquanto para
,
Isso indica que ambas são hélices (porque giram e simultaneamente sobem), mas com taxas de subida diferentes.
Passo 4
Uma forma de medir essa “taxa de subida” é calcular o pitch da hélice, ou seja, quanto a curva sobe em
a cada volta completa
.
Para :
Para
Para
:
Passo 5
Geometricamente, ambas são hélices de raio 1, mas:
– tem pitch
, isto é, a cada volta sobe
unidades em
.
– tem pitch
, subindo mais rápido,
unidades a cada volta.
–
–
Resposta
A diferença principal é que ambas são hélices de raio 1, mas têm pitches diferentes:
– sobe a razão de
(pitch
).
– sobe a razão de
(pitch
).
–
–