Considere duas curvas:
e
. Ambas projetam-se no plano
como uma circunferência. Qual diferença principal há entre elas no espaço?
Considere duas curvas: \vec{r}_{1}(t)=(\cos t, \sin t, 2 t) e \vec{r}_{2}(t)=(\cos t, \sin t, 3 t). Ambas projetam-se no plano x y como uma circunferência. Qual diferença principal há entre elas no espaço?

Passo 1

O enunciado dá duas curvas no espaço \vec r_{1}(t)=(\cos t,\;\sin t,\;2t) e \vec r_{2}(t)=(\cos t,\;\sin t,\;3t),
e observa que ambas, ao serem projetadas no plano xy, formam a circunferência unitária.
O conteúdo aqui é geometria de curvas em \mathbb{R}^3, em particular hélices, e vamos comparar como cada uma “sobe” ao longo de z.

Passo 2

Analisando a projeção no plano xy, basta olhar às duas primeiras componentes: \bigl(\cos t,\sin t\bigr).
Isso mostra que ambas descrevem exatamente o mesmo círculo de raio 1 em \mathbb{R}^2, independente do valor de t.

Passo 3

No espaço, a diferença aparece na componente z.
Para \vec r_{1}, temos
z_{1}(t)=2t,
enquanto para \vec r_{2},
z_{2}(t)=3t.
Isso indica que ambas são hélices (porque giram e simultaneamente sobem), mas com taxas de subida diferentes.

Passo 4

Uma forma de medir essa “taxa de subida” é calcular o pitch da hélice, ou seja, quanto a curva sobe em z a cada volta completa \Delta t=2\pi.
Para \vec r_{1}:
\Delta z_{1}=2\cdot(2\pi)=4\pi.
Para \vec r_{2}:
\Delta z_{2}=3\cdot(2\pi)=6\pi.

Passo 5

Geometricamente, ambas são hélices de raio 1, mas:
\vec r_{1} tem pitch 4\pi, isto é, a cada volta sobe 4\pi unidades em z.
\vec r_{2} tem pitch 6\pi, subindo mais rápido, 6\pi unidades a cada volta.

Resposta

A diferença principal é que ambas são hélices de raio 1, mas têm pitches diferentes:
\vec r_{1} sobe a razão de 2 (pitch 4\pi).
\vec r_{2} sobe a razão de 3 (pitch 6\pi).

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