Calcule a área da região compreendida entre o gráfico de f(x)=x^{4}-x^{2}, a reta x=-1 e x=1.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelo gráfico de f(x)=x^{4}-x^{2} e pelas retas x=-1 e x=1. Na prática isso corresponde à “área sob a curva” entre esses valores de x, ou seja
\text{Área}=\int_{-1}^{1}\bigl|f(x)\bigr|\,dx.Á

Passo 2

Primeiro identificamos onde f(x) muda de sinal em [-1,1].
f(x)=x^{4}-x^{2}=x^{2}(x^{2}-1),
logo as raízes são x=-1,\,0,\,1. Em cada intervalo:
  • Em (-1,0) e (0,1), temos x^{2}<1\implies x^{2}-1<0\implies f(x)<0.
  • Em x=-1 e x=1, f(x)=0.

Passo 3

Portanto
\int_{-1}^{1}\bigl|f(x)\bigr|\,dx =\int_{-1}^{0}-\bigl(x^{4}-x^{2}\bigr)dx +\int_{0}^{1}-\bigl(x^{4}-x^{2}\bigr)dx.

Passo 4

Como f é função par f(-x)=f(x), os dois integrais são iguais. Então
\text{Área} =2\int_{0}^{1}\bigl(x^{2}-x^{4}\bigr)dx.Á

Passo 5

Calculamos
\int_{0}^{1}x^{2}dx=\frac{1}{3}, \qquad \int_{0}^{1}x^{4}dx=\frac{1}{5},
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\int_{0}^{1}\bigl(x^{2}-x^{4}\bigr)dx =\frac{1}{3}-\frac{1}{5} =\frac{5-3}{15} =\frac{2}{15}.
Multiplicando por 2,
\text{Área}=2\cdot\frac{2}{15}=\frac{4}{15}.Á

Resposta

A área da região é \tfrac{4}{15}.

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