Esboce a curva
para
e descreva seu comportamento espacial.
Esboce a curva \vec{r}(t)=(t, \cos t, \sin t) para t \in[0,2 \pi] e descreva seu comportamento espacial.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica no espaço
\vec r(t) = \bigl(t,\cos t,\sin t\bigr)
para t\in[0,2\pi]. O conteúdo é curvas paramétricas em \mathbb{R}^3; para resolver, vamos estudar projeções e monotonicidade das componentes.

Passo 2

Para entender a forma no plano yz, consideramos a projeção \bigl(y(t),z(t)\bigr)=(\cos t,\sin t). Note que
\cos^2 t + \sin^2 t = 1,
logo, no plano yz a curva descreve uma circunferência de raio 1 centrada na origem.
A componente x(t)=t é estritamente crescente em [0,2\pi]. Isso significa que à medida que o parâmetro t aumenta, a curva avança continuamente ao longo do eixo x, sem voltar.

Passo 3

Juntando a rotação circular em yz com o avanço linear em x, concluímos que \vec r(t) é uma hélice circular de raio 1 ao redor do eixo x. Cada volta completa no plano yz corresponde a um incremento de 2\pi em x.
Em particular, para t=0 temos \vec r(0)=(0,1,0) e para t=2\pi temos \vec r(2\pi)=(2\pi,1,0). A hélice faz exatamente uma volta no sentido anti-horário (visto do eixo x positivo) e se desloca de x=0 até x=2\pi.

Resposta

A curva é uma hélice circular de raio 1 centrada no eixo x, que, para t de 0 a 2\pi, descreve uma volta completa avançando linearmente de x=0 a x=2\pi.

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